题目
14、填空 极限lim_((x,y)to(+infty,+infty))(x+y)/(x^2)+y^(2)=（）
14、填空 极限$\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}=（）$
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}$，我们可以使用极坐标变换。极坐标变换将直角坐标系中的点 $(x, y)$ 转换为极坐标系中的点 $(r, \theta)$，其中 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是半径，$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ 是角度。
在极坐标系中，我们可以将 $x$ 和 $y$ 表示为 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$。将这些表达式代入原极限中，我们得到：
\[
\lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{r \to +\infty} \frac{r \cos \theta + r \sin \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta}.
\]
由于 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，上式简化为：
\[
\lim_{r \to +\infty} \frac{r (\cos \theta + \sin \theta)}{r^2} = \lim_{r \to +\infty} \frac{\cos \theta + \sin \theta}{r}.
\]
当 $r \to +\infty$ 时，$\frac{\cos \theta + \sin \theta}{r} \to 0$，因为 $\cos \theta + \sin \theta$ 是一个有界函数（其值域为 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$），而 $r$ 趋向于无穷大。因此，极限为：
\[
\lim_{r \to +\infty} \frac{\cos \theta + \sin \theta}{r} = 0.
\]
所以，原极限的值是 $\boxed{0}$。
解析
考查要点：本题主要考查二元函数在变量趋向于无穷时的极限求解方法，重点在于理解如何通过坐标变换将复杂问题转化为更易处理的形式，并利用有界函数与无穷大相除的性质判断极限值。
解题核心思路：
- 极坐标变换：将直角坐标系中的变量转换为极坐标形式，简化表达式。
- 分析分子与分母的增长速率：通过比较分子和分母随变量趋向无穷时的增长速度，判断极限是否存在。
- 利用有界性：分子部分的三角函数组合是有界的，分母趋向于无穷大，从而整体趋向于零。
破题关键点：
- 极坐标代换是简化问题的关键步骤，将二元变量转化为单变量$r$的函数。
- 分子有界性：$\cos\theta + \sin\theta$的值域为$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$，确保分子不会无限制增长。
- 分母主导性：分母$r^2$的增长速度远快于分子$r$，导致整体分式趋向于零。
步骤1：极坐标代换
设$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，当$(x, y) \to (+\infty, +\infty)$时，$r \to +\infty$。代入原式得：
$\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{r\cos\theta + r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta}.$
步骤2：化简表达式
分母提取$r^2$并利用$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，得：
$\frac{r(\cos\theta + \sin\theta)}{r^2} = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{r}.$
步骤3：分析极限
当$r \to +\infty$时，$\cos\theta + \sin\theta$是有界函数（值域为$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$），而分母$r$趋向于无穷大，因此：
$\lim_{r \to +\infty} \frac{\cos\theta + \sin\theta}{r} = 0.$
结论：无论$\theta$如何变化，极限值均为$0$，故原极限为$0$。