(2) (x)^n-((x'))^2+((x'))^3=0-|||-(3) ^n+dfrac (2)(1-x)((x'))^2=0 ;-|||-(4) ''+sqrt (1-{(x'))^2}=0 ;-|||-(5) (x)^11+([ 1+{(x'))^2] }^3/2=0 (常数 neq 0) ;-|||-(6) ''-dfrac (1)(t)x'+((x'))^2=0 (提示:方程两端除以x').

本题考查微分方程的求解方法，涉及多个不同形式的微分方程。解题核心思路包括：

1. 识别方程类型（如可分离变量方程、线性微分方程、恰当方程等）；
2. 变量替换简化方程结构；
3. 积分法求通解；
4. 特殊解法（如提示中建议的方程变形）。

方程（2）：$x{x}^{n}-{(x')}^{2}+{(x')}^{3}=0$

变量替换

设 $y = x'$，方程变为：
$x{x}^{n} - y^2 + y^3 = 0 \implies y^3 - y^2 + x^{n+1} = 0$

分离变量

整理得：
$y^3 - y^2 = -x^{n+1} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-x^{n+1}}{y^3 - y^2}$
分离变量并积分：
$\int \frac{y^3 - y^2}{dy} = -\int x^{n+1} dx$

积分求解

积分结果为：
$\frac{y^4}{4} - \frac{y^3}{3} = -\frac{x^{n+2}}{n+2} + C$

方程（3）：${x}^{n}+\dfrac {2}{1-x}{(x')}^{2}=0$

方程变形

整理得：
$\frac{2}{1-x}(x')^2 = -x^n \implies \frac{dx}{dt} = \pm \sqrt{-\frac{1-x}{2} x^n}$

分离变量

分离变量并积分：
$\int \frac{dx}{\sqrt{-\frac{1-x}{2} x^n}} = \pm \int dt$
根据$n$的取值讨论解的存在性。

方程（4）：$x''+\sqrt {1-{(x')}^{2}}=0$

降阶法

设$y = x'$，则$x'' = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = y \frac{dy}{dx}$，代入方程：
$y \frac{dy}{dx} + \sqrt{1 - y^2} = 0$

分离变量

整理得：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{1 - y^2}}{y} \implies \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}} dy = -dx$
积分得：
$-\sqrt{1 - y^2} = x + C$

方程（5）：$a{x}^{11}+{[ 1+{(x')}^{2}] }^{3/2}=0$（$a \neq 0$）

方程变形

整理得：
$[1 + (x')^2]^{3/2} = -a x^{11}$

分离变量

两边取平方根并分离变量：
$\sqrt{1 + (x')^2} = (-a)^{2/3} x^{22/3}$
平方后积分：
$1 + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = C x^{44/3}$

方程（6）：$x''-\dfrac {1}{t}x'+{(x')}^{2}=0$（提示：方程两端除以$x'$）

方程变形

两边除以$x'$得：
$\frac{x''}{x'} - \frac{1}{t} = -x'$
设$y = \ln |x'|$，则$x''/x' = y'$，方程变为：
$y' - \frac{1}{t} = -e^{y}$

积分因子法

整理为线性方程：
$y' + e^{y} = \frac{1}{t}$
进一步积分求解。