题目

利用正态分布有关结论，(int )_(-infty )^infty dfrac (1)(sqrt {2pi )}((x)^2-4x+4)(e)^-dfrac ({(x-2)^2)(2)}dx=() ()A.1 B. 0 C. 2 D. -1

利用正态分布有关结论，

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(x^2-4x+4\right)e^{-\frac{\left(x-2\right)^2}{2}}dx=\left(\right)$

A.1 B. 0 C. 2 D. -1

题目解答

答案

解：

$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(x-2\right)^2e^{-\frac{\left(x-2\right)^2}{2}}dx$

令t=x-2，f(x)为标准正态分布的概率密度函数，即：

$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

$=\int_{-\infty}^{\infty}t^2f\left(t\right)dt=E\left(T^2\right)$

其中，T服从标准正态分布，即E(T)=0,D(T)=1，由：

$D\left(T\right)=E\left(T^2\right)-\left(E\left(T\right)\right)^2$ 得

$E\left(T^2\right)=1-0=1$

故该题选择A

解析

步骤 1：化简被积函数
${\int }_{-\infty }^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}({x}^{2}-4x+4){e}^{-\dfrac {{(x-2)}^{2}}{2}}dx$
$={\int }_{-\infty }^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{(x-2)}^{2}{e}^{-\dfrac {{(x-2)}^{2}}{2}}dx$
步骤 2：变量替换
令t=x-2，f(x)为标准正态分布的概率密度函数，即：
$={\int }_{-\infty }^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{t}^{2}{e}^{-\dfrac {{t}^{2}}{2}}dt$
步骤 3：利用期望的定义
$={\int }_{-\infty }^{\infty }{t}^{2}f(t)dt=E({T}^{2})$
其中，T服从标准正态分布，即E(T)=0,D(T)=1，由：
$D(T)=E({T}^{2})-{(E(T))}^{2}$得
$E({T}^{2})=1-0=1$