3 单选(4分)-|||-已知矩阵 A= a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 则对应矩阵的秩R (A),正确的是-|||-○ A. 当 a=1 时, R(A)=0-|||-B. 当 =-3 时, R(A)=4-|||-○ C. 当 a=-3 时, R(A)=1-|||-D. 当 neq -3 且 neq 1 时, (A)=4.

步骤 1：计算矩阵A的行列式
首先，我们需要计算矩阵A的行列式。矩阵A是一个4x4的矩阵，其形式为：
$$
A = \left [ \begin{matrix}
a & 1 & 1 & 1\\
1 & a & 1 & 1\\
1 & 1 & a & 1\\
1 & 1 & 1 & a
\end{matrix} \right ]
$$
行列式可以通过拉普拉斯展开或使用行列式的性质来计算。这里，我们使用行列式的性质来简化计算。

步骤 2：行列式的简化
观察矩阵A，我们可以发现，每一行的元素之和都是$a+3$。因此，我们可以将每一行减去第一行，得到一个新的矩阵B，其行列式与A的行列式相同。矩阵B的形式为：
$$
B = \left [ \begin{matrix}
a & 1 & 1 & 1\\
1-a & a-1 & 0 & 0\\
1-a & 0 & a-1 & 0\\
1-a & 0 & 0 & a-1
\end{matrix} \right ]
$$
接下来，我们可以将矩阵B的行列式表示为：
$$
\det(B) = (a+3)(a-1)^3
$$
步骤 3：分析矩阵的秩
根据行列式的值，我们可以分析矩阵A的秩。当$a=1$时，行列式为0，矩阵A的秩为1。当$a=-3$时，行列式也为0，矩阵A的秩为3。当$a\neq -3$且$a\neq 1$时，行列式不为0，矩阵A的秩为4。