题目
22-6 一隧道长为L,宽为d,高为h,拱顶为半圆,如图所示。设想一列车以极高的速-|||-度v沿隧道长度方向通过隧道,若从列车上观测:-|||-(1)隧道的尺寸如何?-|||-(2)设列车的长度为l0,它全部通过隧道的时间是-|||-多少?-|||-d/2-|||-h-|||-v L-|||-d-|||-习题 22-6 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：长度收缩
根据狭义相对论中的长度收缩效应，当一个物体以接近光速的速度运动时，其在运动方向上的长度会收缩。收缩后的长度 \(L'\) 可以通过以下公式计算：
\[L' = L \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]
其中，\(L\) 是隧道在静止参考系中的长度，\(v\) 是列车的速度，\(c\) 是光速。
步骤 2：宽度和高度不变
由于列车的运动方向是沿着隧道的长度方向，因此隧道的宽度 \(d\) 和高度 \(h\) 在列车上的观测者看来不会发生变化。这是因为长度收缩效应只影响物体在运动方向上的长度，而垂直于运动方向的尺寸保持不变。
步骤 3：计算列车通过隧道的时间
列车全部通过隧道的时间 \(t\) 可以通过以下公式计算：
\[t = \frac{L' + l_0}{v}\]
其中，\(L'\) 是隧道在列车上的观测者看来的长度，\(l_0\) 是列车的长度，\(v\) 是列车的速度。
根据狭义相对论中的长度收缩效应，当一个物体以接近光速的速度运动时，其在运动方向上的长度会收缩。收缩后的长度 \(L'\) 可以通过以下公式计算：
\[L' = L \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]
其中，\(L\) 是隧道在静止参考系中的长度，\(v\) 是列车的速度，\(c\) 是光速。
步骤 2：宽度和高度不变
由于列车的运动方向是沿着隧道的长度方向，因此隧道的宽度 \(d\) 和高度 \(h\) 在列车上的观测者看来不会发生变化。这是因为长度收缩效应只影响物体在运动方向上的长度，而垂直于运动方向的尺寸保持不变。
步骤 3：计算列车通过隧道的时间
列车全部通过隧道的时间 \(t\) 可以通过以下公式计算：
\[t = \frac{L' + l_0}{v}\]
其中，\(L'\) 是隧道在列车上的观测者看来的长度，\(l_0\) 是列车的长度，\(v\) 是列车的速度。