例34]设函数 f(x)= sin x, xlt 0, a, x=0 xsin dfrac {1)(x)+b, xgt 0 . x=0 处连续,求常数a,b.

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的定义及分段函数在分段点处连续的条件。需要掌握左右极限的计算以及极限存在的条件。

解题核心思路：
函数在$x=0$处连续，需满足左极限等于右极限，且等于$f(0)$。因此，分别计算$x \to 0^-$和$x \to 0^+$时的极限，再与$f(0)=a$联立方程求解$a$和$b$。

破题关键点：

1. 左极限：当$x \to 0^-$时，$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，利用重要极限$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$。
2. 右极限：当$x \to 0^+$时，$f(x) = x \sin \dfrac{1}{x} + b$，通过夹逼定理判断极限为$b$。
3. 联立方程：令左右极限等于$a$，解得$a$和$b$。

步骤1：计算左极限
当$x \to 0^-$时，$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，因此：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = 1$

步骤2：计算右极限
当$x \to 0^+$时，$f(x) = x \sin \dfrac{1}{x} + b$。由于$|\sin \dfrac{1}{x}| \leq 1$，故：
$\left| x \sin \dfrac{1}{x} \right| \leq |x| \to 0 \quad (x \to 0^+)$
由夹逼定理得：
$\lim_{x \to 0^+} x \sin \dfrac{1}{x} = 0$
因此：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + b = b$

步骤3：联立方程
根据连续性条件：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$
即：
$1 = b = a$
解得：
$a = 1, \quad b = 1$