题目
例34]设函数 f(x)= sin x, xlt 0, a, x=0 xsin dfrac {1)(x)+b, xgt 0 . x=0 处连续,求常数a,b.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在 x=0 处的左极限
函数在 x=0 处的左极限为 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {1}{x}\sin x$。由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {\sin x}{x}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {1}{x}\sin x=1$。
步骤 2：确定函数在 x=0 处的右极限
函数在 x=0 处的右极限为 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}(x\sin \dfrac {1}{x}+b)$。由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}x\sin \dfrac {1}{x}=0$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}(x\sin \dfrac {1}{x}+b)=b$。
步骤 3：确定函数在 x=0 处的函数值
函数在 x=0 处的函数值为 f(0)=a。
步骤 4：根据函数在一点连续的充要条件，确定 a 和 b 的值
由于函数在 x=0 处连续，根据函数在一点连续的充要条件，应有 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=f(0)$。因此，1=b=a。
函数在 x=0 处的左极限为 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {1}{x}\sin x$。由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {\sin x}{x}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}\dfrac {1}{x}\sin x=1$。
步骤 2：确定函数在 x=0 处的右极限
函数在 x=0 处的右极限为 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}(x\sin \dfrac {1}{x}+b)$。由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}x\sin \dfrac {1}{x}=0$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}(x\sin \dfrac {1}{x}+b)=b$。
步骤 3：确定函数在 x=0 处的函数值
函数在 x=0 处的函数值为 f(0)=a。
步骤 4：根据函数在一点连续的充要条件，确定 a 和 b 的值
由于函数在 x=0 处连续，根据函数在一点连续的充要条件，应有 $\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=f(0)$。因此，1=b=a。