题目

证明：a^2 ((a+1))^2-|||-((a+2))^2-|||-((a+3))^2-|||-^2 . ((b+1))^2-|||-((b+2))^2-|||-((b+3))^2-|||-^2 . ((c+1))^2-|||-((c+2))^2-|||-((c+3))^2-|||-^2 . ((d+1))^2-|||-((d+2))^2-|||-((d+3))^2.

证明：

$\begin{vmatrix} a^{2}&\left ( {a+1} \right )^{2}&\left ( {a+2} \right )^{2}&\left ( {a+3} \right )^{2} \newline b^{2}&\left ( {b+1} \right )^{2}&\left ( {b+2} \right )^{2}&\left ( {b+3} \right )^{2} \newline c^{2}&\left ( {c+1} \right )^{2}&\left ( {c+2} \right )^{2}&\left ( {c+3} \right )^{2} \newline d^{2}&\left ( {d+1} \right )^{2}&\left ( {d+2} \right )^{2}&\left ( {d+3} \right )^{2} \end{vmatrix}=0$ .

题目解答

答案

根据题目，设

$D=\begin{vmatrix} a^{2}&\left ( {a+1} \right )^{2}&\left ( {a+2} \right )^{2}&\left ( {a+3} \right )^{2} \newline b^{2}&\left ( {b+1} \right )^{2}&\left ( {b+2} \right )^{2}&\left ( {b+3} \right )^{2} \newline c^{2}&\left ( {c+1} \right )^{2}&\left ( {c+2} \right )^{2}&\left ( {c+3} \right )^{2} \newline d^{2}&\left ( {d+1} \right )^{2}&\left ( {d+2} \right )^{2}&\left ( {d+3} \right )^{2} \end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix} a^{2}&a^{2}+2a+1&a^{2}+4a+4&a^{2}+6a+9 \newline b^{2}&b^{2}+2b+1&b^{2}+4b+4&b^{2}+6b+9 \newline c^{2}&c^{2}+2c+1&c^{2}+4c+4&c^{2}+6c+9 \newline d^{2}&d^{2}+2d+1&d^{2}+4d+4&d^{2}+6d+9 \end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix} a^{2}&2a+1&4a+4&6a+9 \newline b^{2}&2b+1&4b+4&6b+9 \newline c^{2}&2c+1&4c+4&6c+9 \newline d^{2}&2d+1&4d+4&6d+9 \end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix} a^{2}&2a+1&2&2a+5 \newline b^{2}&2b+1&2&2b+5 \newline c^{2}&2c+1&2&2c+5 \newline d^{2}&2d+1&2&2d+5 \end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix} a^{2}&2a+1&2&4 \newline b^{2}&2b+1&2&4 \newline c^{2}&2c+1&2&4 \newline d^{2}&2d+1&2&4 \end{vmatrix}$

由于行列式第三、四列对应成比例，故 $D=0$ 。

解析

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是两列（或两行）成比例时行列式值为0这一关键性质的应用。

解题核心思路：通过观察行列式的列结构，发现第三列与第四列对应元素成比例，直接应用行列式的性质得出结论。

破题关键点：

识别列的比例关系：明确第三列与第四列的元素之间存在固定比例。
应用行列式性质：若行列式中有两列（或两行）成比例，则行列式值为0。

步骤1：观察行列式结构
假设原行列式为四阶行列式，其第三列和第四列的元素满足比例关系。例如，第三列的每个元素是第四列对应元素的$k$倍（或反之）。

步骤2：应用行列式性质
根据行列式的性质，若存在两列（或两行）成比例，则行列式值为0。
由于第三列与第四列对应成比例，直接得出结论：
$\text{行列式值} = 0.$