题目
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，⋯，n,则E（sum_(i=1)^n({X_i)}）=sum_(i=1)^n({q_i)}．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，⋯，n,则E（$\sum_{i=1}^n{{X_i}}$）=$\sum_{i=1}^n{{q_i}}$．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，⋯，n,则E（$\sum_{i=1}^n{{X_i}}$）=$\sum_{i=1}^n{{q_i}}$．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
题目解答
答案
解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
由题意得P=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，
则Pn+1=0.6Pn+0.2（1-Pn）=0.4Pn+0.2，
∴Pn+1-$\frac{1}{3}$=0.4（Pn-$\frac{1}{3}$），
又P1-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$≠0，则{Pn-$\frac{1}{3}$}是首项为$\frac{1}{6}$，公比为0.4的等比数列，
∴Pn-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）n-1，即Pn=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）n-1，
∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）i-1；
（3）由（2）得Pi=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）i-1，
由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P（Yi=1）=1-P（Yi=0）=Pi，
∴E（$\sum_{i=1}^{n}{Y}_{i}$）=E（Y）=$\sum_{i=1}^{n}{P}_{i}$，
∴当n≥1时，E（Y）=$\sum_{i=1}^{n}{P}_{i}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{n}（\frac{2}{5}）^{i-1}$+$\frac{n}{3}$=$\frac{\frac{1}{6}[1-（\frac{2}{5}）^{n}]}{1-\frac{2}{5}}$+$\frac{n}{3}$=$\frac{5}{18}$[1-（$\frac{2}{5}$）n]+$\frac{n}{3}$，
综上所述，E（Y）=$\frac{5}{18}$[1-（$\frac{2}{5}$）n]+$\frac{n}{3}$，n∈N．
由题意得P=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，
则Pn+1=0.6Pn+0.2（1-Pn）=0.4Pn+0.2，
∴Pn+1-$\frac{1}{3}$=0.4（Pn-$\frac{1}{3}$），
又P1-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$≠0，则{Pn-$\frac{1}{3}$}是首项为$\frac{1}{6}$，公比为0.4的等比数列，
∴Pn-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）n-1，即Pn=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）n-1，
∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）i-1；
（3）由（2）得Pi=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）i-1，
由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P（Yi=1）=1-P（Yi=0）=Pi，
∴E（$\sum_{i=1}^{n}{Y}_{i}$）=E（Y）=$\sum_{i=1}^{n}{P}_{i}$，
∴当n≥1时，E（Y）=$\sum_{i=1}^{n}{P}_{i}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{n}（\frac{2}{5}）^{i-1}$+$\frac{n}{3}$=$\frac{\frac{1}{6}[1-（\frac{2}{5}）^{n}]}{1-\frac{2}{5}}$+$\frac{n}{3}$=$\frac{5}{18}$[1-（$\frac{2}{5}$）n]+$\frac{n}{3}$，
综上所述，E（Y）=$\frac{5}{18}$[1-（$\frac{2}{5}$）n]+$\frac{n}{3}$，n∈N．
解析
步骤 1：计算第2次投篮的人是乙的概率
根据题目，第1次投篮的人是甲或乙的概率各为0.5。如果第1次投篮的人是甲，那么第2次投篮的人是乙的概率为甲未命中的概率0.4。如果第1次投篮的人是乙，那么第2次投篮的人是乙的概率为乙命中的概率0.8。因此，第2次投篮的人是乙的概率为0.5×0.4+0.5×0.8=0.6。
步骤 2：求第i次投篮的人是甲的概率
设第i次投篮的人是甲的概率为P_i。根据题目，如果第i-1次投篮的人是甲，那么第i次投篮的人是甲的概率为甲命中的概率0.6。如果第i-1次投篮的人是乙，那么第i次投篮的人是甲的概率为乙未命中的概率0.2。因此，P_i=0.6P_{i-1}+0.2(1-P_{i-1})=0.4P_{i-1}+0.2。这是一个等比数列，首项为P_1=0.5，公比为0.4。因此，P_i=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）^{i-1}。
步骤 3：求E（Y）
根据题目，随机变量X_i服从两点分布，且P（X_i=1）=1-P（X_i=0）=P_i。因此，E（$\sum_{i=1}^n{{X_i}}$）=$\sum_{i=1}^n{{P_i}}$。将P_i=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）^{i-1}代入，得到E（Y）=$\frac{5}{18}$[1-（$\frac{2}{5}$）^{n}]+$\frac{n}{3}$。
根据题目，第1次投篮的人是甲或乙的概率各为0.5。如果第1次投篮的人是甲，那么第2次投篮的人是乙的概率为甲未命中的概率0.4。如果第1次投篮的人是乙，那么第2次投篮的人是乙的概率为乙命中的概率0.8。因此，第2次投篮的人是乙的概率为0.5×0.4+0.5×0.8=0.6。
步骤 2：求第i次投篮的人是甲的概率
设第i次投篮的人是甲的概率为P_i。根据题目，如果第i-1次投篮的人是甲，那么第i次投篮的人是甲的概率为甲命中的概率0.6。如果第i-1次投篮的人是乙，那么第i次投篮的人是甲的概率为乙未命中的概率0.2。因此，P_i=0.6P_{i-1}+0.2(1-P_{i-1})=0.4P_{i-1}+0.2。这是一个等比数列，首项为P_1=0.5，公比为0.4。因此，P_i=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）^{i-1}。
步骤 3：求E（Y）
根据题目，随机变量X_i服从两点分布，且P（X_i=1）=1-P（X_i=0）=P_i。因此，E（$\sum_{i=1}^n{{X_i}}$）=$\sum_{i=1}^n{{P_i}}$。将P_i=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×（$\frac{2}{5}$）^{i-1}代入，得到E（Y）=$\frac{5}{18}$[1-（$\frac{2}{5}$）^{n}]+$\frac{n}{3}$。