题目
二次型({x)_(2)}^2-3({x)_(3)}^2+2a(x)_(1)(x)_(2)-4(x)_(1)(x)_(3)+8(x)_(2)(x)_(3)经正交变换化为标准形({x)_(2)}^2-3({x)_(3)}^2+2a(x)_(1)(x)_(2)-4(x)_(1)(x)_(3)+8(x)_(2)(x)_(3),则b=_______
二次型
经正交变换化为标准形
,则b=_______
题目解答
答案
二次型对应的矩阵
易得迹为：0+4-3=1
标准形的迹为：1-6+b=b-5
变换后迹相同，所以b-5=1，故b=6
解析
步骤 1：确定二次型对应的矩阵
二次型$4{{x}_{2}}^{2}-3{{x}_{3}}^{2}+2a{x}_{1}{x}_{2}-4{x}_{1}{x}_{3}+8{x}_{2}{x}_{3}$对应的矩阵A为：
$$
A = \left (\begin{matrix} 0& a& -2\\ a& 4& 4\\ -2& 4& -3\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：计算矩阵A的迹
矩阵A的迹为对角线元素之和，即：
$$
\text{迹}(A) = 0 + 4 - 3 = 1
$$
步骤 3：确定标准形的迹
标准形${{y}_{1}}^{2}-6{{y}_{2}}^{2}+b{{y}_{3}}^{2}$的迹为：
$$
\text{迹}(标准形) = 1 - 6 + b = b - 5
$$
步骤 4：利用迹的不变性求解b
由于正交变换不改变矩阵的迹，因此有：
$$
b - 5 = 1
$$
解得：
$$
b = 6
$$
二次型$4{{x}_{2}}^{2}-3{{x}_{3}}^{2}+2a{x}_{1}{x}_{2}-4{x}_{1}{x}_{3}+8{x}_{2}{x}_{3}$对应的矩阵A为：
$$
A = \left (\begin{matrix} 0& a& -2\\ a& 4& 4\\ -2& 4& -3\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：计算矩阵A的迹
矩阵A的迹为对角线元素之和，即：
$$
\text{迹}(A) = 0 + 4 - 3 = 1
$$
步骤 3：确定标准形的迹
标准形${{y}_{1}}^{2}-6{{y}_{2}}^{2}+b{{y}_{3}}^{2}$的迹为：
$$
\text{迹}(标准形) = 1 - 6 + b = b - 5
$$
步骤 4：利用迹的不变性求解b
由于正交变换不改变矩阵的迹，因此有：
$$
b - 5 = 1
$$
解得：
$$
b = 6
$$