题目
[题目]证明:当 |x|leqslant 2 时, |3x-(x)^3|leqslant 2.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
给定条件 $|x|\leqslant 2$，即 $-2\leqslant x\leqslant 2$，这是函数 $f(x)=3x-{x}^{3}$ 的定义域。
步骤 2：求导数并确定单调区间
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)=3-3{x}^{2}=3(1-{x}^{2})$。令 $f'(x)=0$，解得 $x=\pm1$。因此，$f(x)$ 在 $(-2,-1)$ 和 $(1,2]$ 上单调递减，在 $[-1,1]$ 上单调递增。
步骤 3：计算端点值和极值
计算 $f(x)$ 在定义域端点和极值点的值：
- $f(-2)=-6+8=2$
- $f(-1)=-3+1=-2$
- $f(1)=3-1=2$
- $f(2)=6-8=-2$
步骤 4：确定函数值的范围
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，$f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的值域为 $[-2,2]$，即 $|f(x)|\in [0,2]$。
给定条件 $|x|\leqslant 2$，即 $-2\leqslant x\leqslant 2$，这是函数 $f(x)=3x-{x}^{3}$ 的定义域。
步骤 2：求导数并确定单调区间
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)=3-3{x}^{2}=3(1-{x}^{2})$。令 $f'(x)=0$，解得 $x=\pm1$。因此，$f(x)$ 在 $(-2,-1)$ 和 $(1,2]$ 上单调递减，在 $[-1,1]$ 上单调递增。
步骤 3：计算端点值和极值
计算 $f(x)$ 在定义域端点和极值点的值：
- $f(-2)=-6+8=2$
- $f(-1)=-3+1=-2$
- $f(1)=3-1=2$
- $f(2)=6-8=-2$
步骤 4：确定函数值的范围
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，$f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的值域为 $[-2,2]$，即 $|f(x)|\in [0,2]$。