题目
15.设随机变量X的密度函数为-|||-p(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0,xleqslant 0. 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解 Y=2X+1 的密度函数
由于 Y=2X+1 的可能取值范围是(1,∞)，且 y=g(x)=2x+1 是严格单调增函数，其反函数为 x=h(y)=(y-1)/2，及 h'(y)=1/2，所以Y的密度函数为 ${P}_{Y}(y)=$ $px(\dfrac {y-1}{2})|\dfrac {1}{2}|,y\gt 1$ =∫ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-\dfrac {y-1}{2}},y\gt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ , 0, 其他
步骤 2：求解 $Y={e}^{x}$ 的密度函数
因为 $Y={e}^{x}$ 的可能取值范围是(1,∞)，且 $y=g(x)={e}^{x}$ 是严格单调增函数，其反函数为 $x=h(y)=\ln y$，及 h'(y)=1/y，所以Y的密度函数为 ${P}_{Y}(y)=$ ${p}_{x}(\ln y)|\dfrac {1}{y}|,y\gt 1=\dfrac {1}{{y}^{2}},y\gt 1$ . 0, 其他 0,其他.
步骤 3：求解 $Y={X}^{2}$ 的密度函数
因为 $Y={X}^{2}$ 的可能取值范围是(0,∞)，且 $y=g(x)={x}^{2}$ 在(0,∞)上是严格单调增函数，其反函数为 $x=h(y)=\sqrt {y}$，及 $h'(y)=1/(2\sqrt {y})$，所以Y的密度函数为 ${P}_{Y}(y)=$ px(√y)12√y 1,y>01/(e-1),y>01 /ye^(-y),y>0, 0, 其他 $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2\sqrt {y}}{e}^{-\sqrt {y}},y\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ 这是韦布尔分布的特例.一般韦布尔分布(记为W(m,n ))的密度函数为 p(y)= [$\dfrac {m}{n}{(\dfrac {y}{n})}^{m-1}exp\{ -{(\dfrac {y}{n})}^{m}\} ,y\gt 0$ . 0, $y\leqslant 0$. 本题结论就是 m=1/2 n=1 时的韦布尔分布 $W(1/2,1)$.
由于 Y=2X+1 的可能取值范围是(1,∞)，且 y=g(x)=2x+1 是严格单调增函数，其反函数为 x=h(y)=(y-1)/2，及 h'(y)=1/2，所以Y的密度函数为 ${P}_{Y}(y)=$ $px(\dfrac {y-1}{2})|\dfrac {1}{2}|,y\gt 1$ =∫ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-\dfrac {y-1}{2}},y\gt 1\\ 0,\end{matrix} \right.$ , 0, 其他
步骤 2：求解 $Y={e}^{x}$ 的密度函数
因为 $Y={e}^{x}$ 的可能取值范围是(1,∞)，且 $y=g(x)={e}^{x}$ 是严格单调增函数，其反函数为 $x=h(y)=\ln y$，及 h'(y)=1/y，所以Y的密度函数为 ${P}_{Y}(y)=$ ${p}_{x}(\ln y)|\dfrac {1}{y}|,y\gt 1=\dfrac {1}{{y}^{2}},y\gt 1$ . 0, 其他 0,其他.
步骤 3：求解 $Y={X}^{2}$ 的密度函数
因为 $Y={X}^{2}$ 的可能取值范围是(0,∞)，且 $y=g(x)={x}^{2}$ 在(0,∞)上是严格单调增函数，其反函数为 $x=h(y)=\sqrt {y}$，及 $h'(y)=1/(2\sqrt {y})$，所以Y的密度函数为 ${P}_{Y}(y)=$ px(√y)12√y 1,y>01/(e-1),y>01 /ye^(-y),y>0, 0, 其他 $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2\sqrt {y}}{e}^{-\sqrt {y}},y\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ 这是韦布尔分布的特例.一般韦布尔分布(记为W(m,n ))的密度函数为 p(y)= [$\dfrac {m}{n}{(\dfrac {y}{n})}^{m-1}exp\{ -{(\dfrac {y}{n})}^{m}\} ,y\gt 0$ . 0, $y\leqslant 0$. 本题结论就是 m=1/2 n=1 时的韦布尔分布 $W(1/2,1)$.