2、若已知x→0时，F(x)=int_(0)^x(x^2-t^2)f''(t)dt的导数与x²是等价无穷小则f''(0)=____A. 1B. (1)/(2)C. -1D. -(1)/(2)

考查要点：本题主要考查积分上限函数的求导法则、等价无穷小的性质以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 拆分积分：将原积分拆分为两个积分的差，便于分别求导。
2. 求导处理：对拆分后的积分应用莱布尼茨法则，注意乘积法则的使用。
3. 等价无穷小条件：利用等价无穷小的定义建立极限方程。
4. 洛必达法则：将极限转化为可求导的形式，最终解出$f''(0)$的值。

破题关键点：

• 拆分积分后，第一个积分的导数需用乘积法则。
• 抵消项：求导后$x^2 f''(x)$项相互抵消，简化表达式。
• 极限处理：通过洛必达法则将积分转化为$f''(0)$的表达式。

步骤1：拆分积分

将$F(x)$拆分为两个积分的差：
$F(x) = \int_{0}^{x} x^2 f''(t) \, dt - \int_{0}^{x} t^2 f''(t) \, dt$

步骤2：求导

对$F(x)$求导：

1. 第一个积分：$\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} x^2 f''(t) \, dt \right)$
   • 应用乘积法则：$\frac{d}{dx} \left( x^2 \cdot \int_{0}^{x} f''(t) \, dt \right) = 2x \int_{0}^{x} f''(t) \, dt + x^2 f''(x)$
2. 第二个积分：$\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} t^2 f''(t) \, dt \right) = x^2 f''(x)$

因此：
$F'(x) = 2x \int_{0}^{x} f''(t) \, dt + x^2 f''(x) - x^2 f''(x) = 2x \int_{0}^{x} f''(t) \, dt$

步骤3：等价无穷小条件

由题意，当$x \to 0$时，$F'(x) \sim x^2$，即：
$\lim_{x \to 0} \frac{F'(x)}{x^2} = 1$
代入$F'(x)$的表达式：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x \int_{0}^{x} f''(t) \, dt}{x^2} = 1 \implies \lim_{x \to 0} \frac{2 \int_{0}^{x} f''(t) \, dt}{x} = 1$

步骤4：应用洛必达法则

分子$\int_{0}^{x} f''(t) \, dt$和分母$x$均为$0/0$型，对分子分母分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{2 f''(x)}{1} = 1 \implies 2 f''(0) = 1 \implies f''(0) = \frac{1}{2}$