题目
( 20 int dfrac (dx)(1+cos 2x) ;
题目解答
答案
本题主要考查不定积分的计算问题，需要熟练掌握三角函数的有关公式。
$\int \dfrac {dx}{1+\cos 2x}$
$=\int \dfrac {dx}{2\cos ^2x}$
$=\dfrac {1}{2}\int \sec x\mathrm{d}x$
$=\dfrac {1}{2}\tan x+C$
$\int \dfrac {dx}{1+\cos 2x}$
$=\int \dfrac {dx}{2\cos ^2x}$
$=\dfrac {1}{2}\int \sec x\mathrm{d}x$
$=\dfrac {1}{2}\tan x+C$
解析
步骤 1：应用三角恒等式
首先，我们应用三角恒等式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ 来简化积分中的分母。
步骤 2：简化积分
将 $\cos 2x$ 替换为 $2\cos^2 x - 1$，得到 $\int \dfrac {dx}{1+\cos 2x} = \int \dfrac {dx}{1+2\cos^2 x - 1} = \int \dfrac {dx}{2\cos^2 x}$。
步骤 3：应用积分公式
接下来，我们应用积分公式 $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$，其中 $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$。因此，$\int \dfrac {dx}{2\cos^2 x} = \dfrac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx$。
步骤 4：计算积分
根据积分公式，$\dfrac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \tan x + C$。
首先，我们应用三角恒等式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ 来简化积分中的分母。
步骤 2：简化积分
将 $\cos 2x$ 替换为 $2\cos^2 x - 1$，得到 $\int \dfrac {dx}{1+\cos 2x} = \int \dfrac {dx}{1+2\cos^2 x - 1} = \int \dfrac {dx}{2\cos^2 x}$。
步骤 3：应用积分公式
接下来，我们应用积分公式 $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$，其中 $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$。因此，$\int \dfrac {dx}{2\cos^2 x} = \dfrac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx$。
步骤 4：计算积分
根据积分公式，$\dfrac{1}{2} \int \sec^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \tan x + C$。