题目
设随机变量X具有概率密度: f_x(x)=} (x)/(2), & 0< x< 2, 0, & (其他.)
设随机变量$X$具有概率密度:
$f_x(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & 0< x< 2, \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$
则$Y=3X+2$的概率密度为____.
A $f_y(y)=\begin{cases} \frac{y-2}{6}, & 0< y< 2, \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$
B $f_y(y)=\begin{cases} \frac{y-2}{6}, & 2< y< 8, \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$
C $f_y(y)=\begin{cases} \frac{y-2}{18}, & 0< y< 2, \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$
D $f_y(y)=\begin{cases} \frac{y-2}{18}, & 2< y< 8, \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$
题目解答
答案
为了找到随机变量 $ Y = 3X + 2 $ 的概率密度函数，已知 $ X $ 的概率密度函数为
\[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} \]
我们可以使用随机变量变换的方法。$ Y $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $ 可以通过以下公式找到：
\[ f_Y(y) = f_X\left( \frac{y-2}{3} \right) \left| \frac{d}{dy} \left( \frac{y-2}{3} \right) \right|. \]
首先，我们计算导数：
\[ \left| \frac{d}{dy} \left( \frac{y-2}{3} \right) \right| = \left| \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3}. \]
接下来，我们将 $ x = \frac{y-2}{3} $ 代入 $ f_X(x) $：
\[ f_X\left( \frac{y-2}{3} \right) = \begin{cases} \frac{\frac{y-2}{3}}{2} = \frac{y-2}{6}, & 0 < \frac{y-2}{3} < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
现在，我们需要确定 $ y $ 的范围。不等式 $ 0 < \frac{y-2}{3} < 2 $ 可以重写为：
\[ 0 < y-2 < 6, \]
这简化为：
\[ 2 < y < 8. \]
因此，$ f_X\left( \frac{y-2}{3} \right) $ 的表达式为：
\[ f_X\left( \frac{y-2}{3} \right) = \begin{cases} \frac{y-2}{6}, & 2 < y < 8, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
现在，我们将此与导数相乘：
\[ f_Y(y) = \frac{y-2}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{y-2}{18}, \]
对于 $ 2 < y < 8 $，在其他情况下为0。因此，$ Y $ 的概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{y-2}{18}, & 2 < y < 8, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]
正确答案是：
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：确定$X$的变换
$Y = 3X + 2$，这是一个线性变换，我们需要找到$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。
步骤 2：计算导数
$Y = 3X + 2$，则$X = \frac{Y - 2}{3}$，计算导数$\frac{dX}{dY} = \frac{1}{3}$。
步骤 3：代入原概率密度函数
将$X = \frac{Y - 2}{3}$代入$f_X(x)$，得到$f_X\left(\frac{Y - 2}{3}\right) = \frac{\frac{Y - 2}{3}}{2} = \frac{Y - 2}{6}$。
步骤 4：确定$Y$的范围
$0 < X < 2$，代入$X = \frac{Y - 2}{3}$，得到$0 < \frac{Y - 2}{3} < 2$，即$2 < Y < 8$。
步骤 5：计算$Y$的概率密度函数
$f_Y(y) = f_X\left(\frac{Y - 2}{3}\right) \cdot \left|\frac{dX}{dY}\right| = \frac{Y - 2}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{Y - 2}{18}$，对于$2 < Y < 8$，在其他情况下为0。
$Y = 3X + 2$，这是一个线性变换，我们需要找到$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。
步骤 2：计算导数
$Y = 3X + 2$，则$X = \frac{Y - 2}{3}$，计算导数$\frac{dX}{dY} = \frac{1}{3}$。
步骤 3：代入原概率密度函数
将$X = \frac{Y - 2}{3}$代入$f_X(x)$，得到$f_X\left(\frac{Y - 2}{3}\right) = \frac{\frac{Y - 2}{3}}{2} = \frac{Y - 2}{6}$。
步骤 4：确定$Y$的范围
$0 < X < 2$，代入$X = \frac{Y - 2}{3}$，得到$0 < \frac{Y - 2}{3} < 2$，即$2 < Y < 8$。
步骤 5：计算$Y$的概率密度函数
$f_Y(y) = f_X\left(\frac{Y - 2}{3}\right) \cdot \left|\frac{dX}{dY}\right| = \frac{Y - 2}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{Y - 2}{18}$，对于$2 < Y < 8$，在其他情况下为0。