题目
已知抛物线 y=-x ^ ( 2 ) +bx （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 y=-x ^ ( 2 ) +2x 的顶点横坐标大1．（1）求b的值；（2）点 A ( ( x_{ 1 ) ,y_( 1 ) } ) 在抛物线 y=-x ^ ( 2 ) +2x 上，点 B ( ( x_{ 1 ) +t,y_( 1 ) +h } ) 在抛物线 y=-x ^ ( 2 ) +bx 上．（ⅰ）若 h=3t ，且 x_( 1 ) ≥0 ， t>0 ，求h的值；（ⅱ）若 x_( 1 ) =t-1 ，求h的最大值．
已知抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx $（b为常数）的顶点横坐标比抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点$ A\left ( { x_{ 1 } ,y_{ 1 } } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $上，点$ B\left ( { x_{ 1 } +t,y_{ 1 } +h } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx $上．
（ⅰ）若$ h=3t $，且$ x_{ 1 } ≥0 $，$ t>0 $，求h的值；
（ⅱ）若$ x_{ 1 } =t-1 $，求h的最大值．
（1）求b的值；
（2）点$ A\left ( { x_{ 1 } ,y_{ 1 } } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $上，点$ B\left ( { x_{ 1 } +t,y_{ 1 } +h } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx $上．
（ⅰ）若$ h=3t $，且$ x_{ 1 } ≥0 $，$ t>0 $，求h的值；
（ⅱ）若$ x_{ 1 } =t-1 $，求h的最大值．
题目解答
答案
（1）解：∵ 抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx $（b为常数）的顶点横坐标为x=$ \frac { b } { 2 } $， 抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $顶点横坐标为x=1
∴$ \frac { b } { 2 } $-1=1，
解得b=4.
（2）∵ 点$ A\left ( { x_{ 1 } ,y_{ 1 } } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $上 ，
∴$ y_{ 1 } =-x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } $，
∵点$ B\left ( { x_{ 1 } +t,y_{ 1 } +h } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx=-x ^ { 2 } +4x $上 ，
∴$ y_{ 1 } +h=-（x_{ 1 } +t） ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $，
∴$ -x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } $$ +h=-（x_{ 1 } +t）x ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $，
整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（ⅰ） 若$ h=3t $ ，则3t=-t2-2x1t+2x1+4t，
整理t(t+2x1)=t+2x1，
∵$ x_{ 1 } ≥0 $，$ t>0 $，
∴t+2x1＞0，
∴t=1，
∴h=3t=3.
（ⅱ）把$ x_{ 1 } =t-1 $ 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-$ \frac { 4 } { 3 } $）2+$ \frac { 10 } { 3 } $
∵-3＜0，
∴当h=$ \frac { 4 } { 3 } $时，h取最大值，最大值为$ \frac { 10 } { 3 } $.
∴$ \frac { b } { 2 } $-1=1，
解得b=4.
（2）∵ 点$ A\left ( { x_{ 1 } ,y_{ 1 } } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $上 ，
∴$ y_{ 1 } =-x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } $，
∵点$ B\left ( { x_{ 1 } +t,y_{ 1 } +h } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx=-x ^ { 2 } +4x $上 ，
∴$ y_{ 1 } +h=-（x_{ 1 } +t） ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $，
∴$ -x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } $$ +h=-（x_{ 1 } +t）x ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $，
整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（ⅰ） 若$ h=3t $ ，则3t=-t2-2x1t+2x1+4t，
整理t(t+2x1)=t+2x1，
∵$ x_{ 1 } ≥0 $，$ t>0 $，
∴t+2x1＞0，
∴t=1，
∴h=3t=3.
（ⅱ）把$ x_{ 1 } =t-1 $ 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-$ \frac { 4 } { 3 } $）2+$ \frac { 10 } { 3 } $
∵-3＜0，
∴当h=$ \frac { 4 } { 3 } $时，h取最大值，最大值为$ \frac { 10 } { 3 } $.
解析
步骤 1：求b的值
抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx $的顶点横坐标为x=$ \frac { b } { 2 } $，抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $的顶点横坐标为x=1。根据题意，$\frac { b } { 2 } -1=1$，解得b=4。
步骤 2：求h的值
点$ A\left ( { x_{ 1 } ,y_{ 1 } } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $上，所以$ y_{ 1 } =-x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } $。点$ B\left ( { x_{ 1 } +t,y_{ 1 } +h } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +4x $上，所以$ y_{ 1 } +h=-（x_{ 1 } +t） ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $。将$ y_{ 1 } $的表达式代入，得到$ -x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } +h=-（x_{ 1 } +t） ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $。整理得h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t。
步骤 3：求h的值（ⅰ）
若$ h=3t $，则3t=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t。整理得t(t+2x_1)=t+2x_1。因为$ x_{ 1 } ≥0 $，$ t>0 $，所以t+2x_1＞0，从而t=1，所以h=3t=3。
步骤 4：求h的最大值（ⅱ）
若$ x_{ 1 } =t-1 $，代入h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t中得h=-3t^{2}+8t-2=-3（t-$ \frac { 4 } { 3 } $）^{2}+$ \frac { 10 } { 3 } $。因为-3＜0，所以当t=$ \frac { 4 } { 3 } $时，h取最大值，最大值为$ \frac { 10 } { 3 } $。
抛物线$ y=-x ^ { 2 } +bx $的顶点横坐标为x=$ \frac { b } { 2 } $，抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $的顶点横坐标为x=1。根据题意，$\frac { b } { 2 } -1=1$，解得b=4。
步骤 2：求h的值
点$ A\left ( { x_{ 1 } ,y_{ 1 } } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +2x $上，所以$ y_{ 1 } =-x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } $。点$ B\left ( { x_{ 1 } +t,y_{ 1 } +h } \right ) $在抛物线$ y=-x ^ { 2 } +4x $上，所以$ y_{ 1 } +h=-（x_{ 1 } +t） ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $。将$ y_{ 1 } $的表达式代入，得到$ -x_{ 1 } ^ { 2 } +2x_{ 1 } +h=-（x_{ 1 } +t） ^ { 2 } +4（x_{ 1 } +t） $。整理得h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t。
步骤 3：求h的值（ⅰ）
若$ h=3t $，则3t=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t。整理得t(t+2x_1)=t+2x_1。因为$ x_{ 1 } ≥0 $，$ t>0 $，所以t+2x_1＞0，从而t=1，所以h=3t=3。
步骤 4：求h的最大值（ⅱ）
若$ x_{ 1 } =t-1 $，代入h=-t^{2}-2x_1t+2x_1+4t中得h=-3t^{2}+8t-2=-3（t-$ \frac { 4 } { 3 } $）^{2}+$ \frac { 10 } { 3 } $。因为-3＜0，所以当t=$ \frac { 4 } { 3 } $时，h取最大值，最大值为$ \frac { 10 } { 3 } $。