计算积分 int_(C) (sin frac(pi)/(4) z)(z^2 - 1) dz，其中 C: |z-1|=(1)/(2);A. sqrt(2) piB. (sqrt(2))/(2) piC. sqrt(2) pi iD. (sqrt(2))/(2) pi i

本题考查复变函数积分的计算，核心思路是柯西积分公式的应用。关键在于：

1. 确定积分路径内的奇点：被积函数分母分解为$(z-1)(z+1)$，但积分路径$|z-1|=\frac{1}{2}$仅包含奇点$z=1$；
2. 构造柯西公式形式：将被积函数改写为$\frac{f(z)}{z-1}$，其中$f(z)=\frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{z+1}$；
3. 计算$f(1)$的值：代入柯西积分公式$\oint_C \frac{f(z)}{z-1}dz=2\pi i f(1)$。

步骤1：分解分母，确定奇点

被积函数为$\frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{z^2-1} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{(z-1)(z+1)}$，分母分解为$(z-1)(z+1)$，奇点为$z=1$和$z=-1$。

步骤2：判断奇点是否在积分路径内

积分路径$C: |z-1|=\frac{1}{2}$是以$z=1$为中心，半径$\frac{1}{2}$的圆。显然：

• $z=1$在圆内；
• $z=-1$距离中心$1$的距离为$2$，远大于半径$\frac{1}{2}$，故在圆外。

因此，积分路径内仅有一个奇点$z=1$。

步骤3：应用柯西积分公式

将被积函数改写为：
$\frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{(z-1)(z+1)} = \frac{f(z)}{z-1}, \quad \text{其中} \ f(z)=\frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{z+1}.$
根据柯西积分公式：
$\oint_C \frac{f(z)}{z-1}dz = 2\pi i f(1).$

步骤4：计算$f(1)$

$f(1) = \frac{\sin\frac{\pi}{4} \cdot 1}{1+1} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$

步骤5：代入公式求结果

$2\pi i \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi i.$