3.在双曲抛物面 dfrac ({x)^2}(16)-dfrac ({y)^2}(4)=z 上求平行于平面 3x+2y-4z=0 的直-|||-母线.

步骤 1：确定双曲抛物面的参数方程
双曲抛物面 $\dfrac{{x}^{2}}{16}-\dfrac{{y}^{2}}{4}=z$ 可以用参数方程表示为：
$$
\begin{cases}
x = 4u \\
y = 2v \\
z = u^2 - v^2
\end{cases}
$$
其中 $u$ 和 $v$ 是参数。

步骤 2：确定直母线的方向向量
直母线的方向向量可以由参数方程的偏导数得到：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial x}{\partial u} = 4 \\
\frac{\partial y}{\partial u} = 0 \\
\frac{\partial z}{\partial u} = 2u
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
\frac{\partial x}{\partial v} = 0 \\
\frac{\partial y}{\partial v} = 2 \\
\frac{\partial z}{\partial v} = -2v
\end{cases}
$$
因此，直母线的方向向量可以表示为：
$$
\vec{d} = \begin{cases}
4 \\
0 \\
2u
\end{cases}
$$
或
$$
\vec{d} = \begin{cases}
0 \\
2 \\
-2v
\end{cases}
$$

步骤 3：确定直母线的方向向量与平面法向量平行
平面 3x+2y-4z=0 的法向量为 $\vec{n} = \begin{cases} 3 \\ 2 \\ -4 \end{cases}$。直母线的方向向量与平面法向量平行，即：
$$
\vec{d} \times \vec{n} = \vec{0}
$$
代入直母线的方向向量，得到：
$$
\begin{cases}
4 \\
0 \\
2u
\end{cases}
\times
\begin{cases}
3 \\
2 \\
-4
\end{cases}
=
\begin{cases}
0 \\
0 \\
0
\end{cases}
$$
或
$$
\begin{cases}
0 \\
2 \\
-2v
\end{cases}
\times
\begin{cases}
3 \\
2 \\
-4
\end{cases}
=
\begin{cases}
0 \\
0 \\
0
\end{cases}
$$
解得：
$$
u = -2, v = 1
$$
或
$$
u = 2, v = -1
$$

步骤 4：确定直母线的参数方程
将 $u = -2, v = 1$ 或 $u = 2, v = -1$ 代入参数方程，得到直母线的参数方程：
$$
\begin{cases}
x = 4u = -8 \\
y = 2v = 2 \\
z = u^2 - v^2 = 3
\end{cases}
$$
或
$$
\begin{cases}
x = 4u = 8 \\
y = 2v = -2 \\
z = u^2 - v^2 = 3
\end{cases}
$$
因此，直母线的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = -8 + 4t \\
y = 2 \\
z = 3 + 2t
\end{cases}
$$
或
$$
\begin{cases}
x = 8 + 4t \\
y = -2 \\
z = 3 - 2t
\end{cases}
$$
其中 $t$ 是参数。

步骤 5：确定直母线的方程
将参数方程转化为直母线的方程，得到：
$$
\begin{cases}
x + 2y - 4 = 0 \\
x - 2y - 4z = 0
\end{cases}
$$
或
$$
\begin{cases}
x - 2y - 8 = 0 \\
x + 2y - 2z = 0
\end{cases}
$$