1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} ;-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} ;-|||-(4) dfrac {n-1)(n+1)} ;-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} -|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：判断数列的收敛性及求极限，需掌握常见数列的变化趋势及极限存在性条件。

解题核心思路：

1. 收敛数列：当$n \to \infty$时，数列项无限接近某个常数。
2. 发散数列：数列项趋向于无穷大或摆动无极限。
3. 关键方法：
   • 观察通项形式：如指数衰减、多项式增长、交替符号等。
   • 极限存在性判断：若奇偶子列极限不同，则整体发散。

(1) $\left\{ \dfrac{1}{2^n} \right\}$

• 通项分析：$\dfrac{1}{2^n}$随$n$增大指数衰减。
• 极限：$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{2^n} = 0$。
• 结论：收敛，极限为$0$。

(2) $\left\{ (-1)^n \right\}$

• 通项分析：奇偶项交替为$-1$和$1$。
• 极限：子列极限分别为$-1$和$1$，不一致。
• 结论：发散。

(3) $\left\{ 2 + \dfrac{1}{n^2} \right\}$

• 通项分析：$\dfrac{1}{n^2}$随$n$增大趋近于$0$。
• 极限：$\lim\limits_{n \to \infty} \left( 2 + \dfrac{1}{n^2} \right) = 2$。
• 结论：收敛，极限为$2$。

(4) $\left\{ n + 1 \right\}$

• 通项分析：线性增长，随$n$增大趋向于$+\infty$。
• 结论：发散。

(5) $\left\{ n(-1)^n \right\}$

• 通项分析：奇偶项绝对值趋向于$+\infty$，符号交替。
• 结论：发散。

(6) $\left\{ 3^n \right\}$

• 通项分析：指数增长，趋向于$+\infty$。
• 结论：发散。

(7) $\left\{ n - \dfrac{1}{n} \right\}$

• 通项分析：$n$主导项趋向于$+\infty$，$\dfrac{1}{n}$趋近于$0$。
• 结论：发散。

(8) $\left\{ \left[ (-1)^n + 1 \right] \dfrac{n+1}{n} \right\}$

• 奇偶项分析：
  • 偶数项：$(-1)^n = 1$，项为$2 \cdot \dfrac{n+1}{n} \to 2$。
  • 奇数项：$(-1)^n = -1$，项为$0 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 0$。
• 结论：奇偶子列极限不同，发散。