4.（10.0分）若二维随机变量（X，Y）在以原点为中心的正方形[-1，1]x[-1，1]上服从均匀分布，那么PXA. 4/5B. 3/4C. 1/2D. 2/3

本题考查二维均匀分布的概率计算。解题思路是先根据二维均匀分布的性质求出联合概率密度函数，再通过对联合概率密度函数在指定区域上进行二重积分来计算概率。

步骤一：求二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数

已知二维随机变量$(X,Y)$在以原点为中心的正方形$[-1,1]\times[-1,1]$上服从均匀分布，该正方形区域的面积$S = (1 - (-1))\times(1 - (-1)) = 4$。
根据二维均匀分布的联合概率密度函数公式$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$，可得$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{4},& -1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1\\0,& 其他\end{cases}$。

步骤二：计算$P\left\{X<\frac{1}{2}\right\}$

根据概率的计算公式$P\left\{X<\frac{1}{2}\right\}=\underset{x<\frac{1}{2}}{\iint}f(x,y)dxdy$，结合$f(x,y)$的取值范围，积分区域为$-1\leq x<\frac{1}{2}, -1\leq y\leq 1$，则有：
$\begin{align*}P\left\{X<\frac{1}{2}\right\}&=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}dx\int_{-1}^{1}\frac{1}{4}dy\\&=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}\left[y\right]_{-1}^{1}dx\\&=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}(1 - (-1))dx\\&=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}dx\\&=\frac{1}{2}\left[x\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - (-1)\right)\\&=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\\&=\frac{3}{4}\end{align*}$