题目
1.（30.0分）用正交矩阵将实对称矩阵A=}1&2&22&1&22&2&1化为对角矩阵，并写出正交矩阵Q.
1.（30.0分）用正交矩阵将实对称矩阵$A=$
$\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$化为对角矩阵，并写出正交矩阵Q.
题目解答
答案
1. **求特征值**：
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，解得 $\lambda_1 = 5$，$\lambda_2 = \lambda_3 = -1$。
2. **求特征向量**：
- 对于 $\lambda_1 = 5$，特征向量为 $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
- 对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = -1$，特征向量为 $\alpha_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
3. **单位化**：
- $\beta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，
- $\beta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，
- $\beta_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
4. **构造正交矩阵 $Q$**：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
}
\]
对角矩阵 $\Lambda$ 为：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
}
\]