题目
(int )_(-infty )^+infty dfrac (dx)({x)^2+2x+2}.
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题目解答
答案
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解析
步骤 1：完成被积函数的配方
将被积函数${x}^{2}+2x+2$配方，得到${(x+1)}^{2}+1$，这样可以将原积分转换为一个标准形式的积分。
步骤 2：进行变量替换
令$u=x+1$，则$du=dx$，将原积分转换为${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du$。
步骤 3：计算积分
根据积分公式${\int }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du=\arctan(u)+C$，计算积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du$。
步骤 4：计算定积分
将积分结果代入上下限，计算定积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du=\arctan(u){|}_{-\infty }^{+\infty }$。
将被积函数${x}^{2}+2x+2$配方，得到${(x+1)}^{2}+1$，这样可以将原积分转换为一个标准形式的积分。
步骤 2：进行变量替换
令$u=x+1$，则$du=dx$，将原积分转换为${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du$。
步骤 3：计算积分
根据积分公式${\int }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du=\arctan(u)+C$，计算积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du$。
步骤 4：计算定积分
将积分结果代入上下限，计算定积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {1}{{u}^{2}+1}du=\arctan(u){|}_{-\infty }^{+\infty }$。