22.（判断题，2.0分）若(f_(x),f_(y))|_((a,b))=0，则f(x,y)在点(a,b)有极值.A 对B 错

这是一道关于多元函数极值判断的数学题。我们来逐步分析题目中的条件和结论。

1. 理解题目条件
题目给出的条件是 $(f_x, f_y)|_{(a,b)} = 0$。
在多元函数微积分中，这表示函数 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 处的两个一阶偏导数都为零，即：
$f_x(a, b) = 0$ 且 $f_y(a, b) = 0$。
满足这个条件的点 $(a, b)$ 被称为函数的驻点（或临界点）。

2. 极值的必要条件与充分条件

• 必要条件：如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 处可微且取得极值，那么该点的一阶偏导数必定为零，即 $(f_x, f_y)|_{(a,b)} = 0$。
• 充分条件：仅仅一阶偏导数为零并不能保证该点就是极值点。我们需要进一步利用二阶偏导数来进行判断（通常使用二元函数极值的充分条件，即 Hessian 矩阵的判别法）。

3. 举反例验证
为了说明“若 $(f_x, f_y)|_{(a,b)} = 0$，则 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 有极值”这个命题是否成立，我们可以寻找一个反例。
考虑经典的鞍点函数：$f(x, y) = x^2 - y^2$。
我们来求它在原点 $(0, 0)$ 处的偏导数：

• 对 $x$ 求偏导：$f_x(x, y) = 2x$
• 对 $y$ 求偏导：$f_y(x, y) = -2y$

将点 $(0, 0)$ 代入偏导数中：

• $f_x(0, 0) = 2 \times 0 = 0$
• $f_y(0, 0) = -2 \times 0 = 0$

这说明在原点 $(0, 0)$ 处，$(f_x, f_y)|_{(0,0)} = (0, 0)$，完全符合题目的前提条件。
但是，我们观察函数 $f(x, y) = x^2 - y^2$ 在原点附近的取值情况：

• 沿着 $x$ 轴方向（即 $y=0$），$f(x, 0) = x^2$。在原点附近，$x^2 \ge 0 = f(0, 0)$，函数值大于等于原点处的值。
• 沿着 $y$ 轴方向（即 $x=0$），$f(0, y) = -y^2$。在原点附近，$-y^2 \le 0 = f(0, 0)$，函数值小于等于原点处的值。

由于在点 $(0, 0)$ 的任意小邻域内，函数值既有大于 $f(0, 0)$ 的部分，也有小于 $f(0, 0)$ 的部分，因此 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处没有极值。点 $(0, 0)$ 是该函数的一个鞍点。

4. 结论
通过上述推理和反例可知，一阶偏导数为零只是函数在某点取得极值的必要条件，而不是充分条件。因此，题目中的陈述“若 $(f_x, f_y)|_{(a,b)} = 0$，则 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 有极值”是错误的。

正确选项为 B 错。