题目
15. 求微分方程 xy'-y ln y=0 的通解.
15. 求微分方程 $xy'-y \ln y=0$ 的通解.
题目解答
答案
将微分方程 $xy' - y \ln y = 0$ 改写为：
\[xy' = y \ln y \implies \frac{y'}{y \ln y} = \frac{1}{x}.\]
分离变量并积分：
\[\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{dx}{x}.\]
令 $u = \ln y$，则 $du = \frac{dy}{y}$，积分变为：
\[\int \frac{du}{u} = \ln |u| = \ln |\ln y|.\]
右边积分得 $\ln |x| + C_1$，消去对数得：
\[|\ln y| = C|x| \implies \ln y = Cx.\]
解得通解：
\[\boxed{y = e^{Cx}} \quad \text{或} \quad \boxed{\ln y = Cx},\]
其中 $C$ 为任意常数。
解析
考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要学生掌握变量分离的方法以及积分技巧，特别是通过换元法处理复杂积分。
解题核心思路：
- 变量分离：将方程整理为关于$y$和$x$的项分别在等式两边。
- 积分求解：对分离后的变量分别积分，注意换元法的应用。
- 整理通解：通过代数变形消去积分过程中的对数，得到通解的显式表达式。
破题关键点：
- 识别方程类型：方程可变形为$\frac{dy}{dx} = \frac{y \ln y}{x}$，属于可分离变量方程。
- 换元积分：通过令$u = \ln y$简化积分$\int \frac{dy}{y \ln y}$。
将微分方程$xy' - y \ln y = 0$变形为：
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \ln y}{x}.$
分离变量：
$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}.$
积分求解：
- 左边积分：令$u = \ln y$，则$du = \frac{dy}{y}$，积分变为：
$\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C_1 = \ln |\ln y| + C_1.$ - 右边积分：
$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2.$
合并结果：
$\ln |\ln y| = \ln |x| + C \quad (\text{其中} \, C = C_2 - C_1).$
消去对数：
两边取指数函数，得：
$|\ln y| = C|x| \quad (\text{常数} \, C > 0).$
去掉绝对值符号，整理为：
$\ln y = Cx \quad (\text{其中} \, C \neq 0).$
通解表达式：
对$e$取幂得：
$y = e^{Cx}.$