题目
2-15 一质点沿x轴运动,其所受的力如图所示.设 t=0 时, _(0)=5mcdot (s)^-1 ,-|||-._(0)=2m .质点质量 =1kg. 试求该质点7s末的速度和位置坐标.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定力随时间变化的函数
根据题目中给出的力随时间变化的图，可以确定力随时间变化的函数。在0到5秒的时间段内，力随时间线性增加，可以表示为 $F(t) = 2t$。在5到7秒的时间段内，力随时间线性减少，可以表示为 $F(t) = 35 - 5t$。
步骤 2：计算加速度
根据牛顿第二定律 $F = ma$，可以计算出加速度。在0到5秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 2t$。在5到7秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 35 - 5t$。
步骤 3：计算速度
根据加速度的定义 $a = \frac{dv}{dt}$，可以计算出速度。在0到5秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int 2t dt = t^2 + C$。由于在t=0时，速度为5m/s，所以 $C = 5$，因此 $v(t) = t^2 + 5$。在5到7秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int (35 - 5t) dt = 35t - 2.5t^2 + C$。由于在t=5时，速度为30m/s，所以 $C = -82.5$，因此 $v(t) = 35t - 2.5t^2 - 82.5$。
步骤 4：计算位置
根据速度的定义 $v = \frac{dx}{dt}$，可以计算出位置。在0到5秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 5) dt = \frac{1}{3}t^3 + 5t + C$。由于在t=0时，位置为2m，所以 $C = 2$，因此 $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 5t + 2$。在5到7秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (35t - 2.5t^2 - 82.5) dt = 17.5t^2 - 0.83t^3 - 82.5t + C$。由于在t=5时，位置为68.7m，所以 $C = 147.87$，因此 $x(t) = 17.5t^2 - 0.83t^3 - 82.5t + 147.87$。
步骤 5：计算7秒末的速度和位置
将t=7代入速度和位置的表达式中，可以计算出7秒末的速度和位置。速度为 $v(7) = 35 \times 7 - 2.5 \times 7^2 - 82.5 = 40m/s$。位置为 $x(7) = 17.5 \times 7^2 - 0.83 \times 7^3 - 82.5 \times 7 + 147.87 = 142m$。
根据题目中给出的力随时间变化的图，可以确定力随时间变化的函数。在0到5秒的时间段内，力随时间线性增加，可以表示为 $F(t) = 2t$。在5到7秒的时间段内，力随时间线性减少，可以表示为 $F(t) = 35 - 5t$。
步骤 2：计算加速度
根据牛顿第二定律 $F = ma$，可以计算出加速度。在0到5秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 2t$。在5到7秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 35 - 5t$。
步骤 3：计算速度
根据加速度的定义 $a = \frac{dv}{dt}$，可以计算出速度。在0到5秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int 2t dt = t^2 + C$。由于在t=0时，速度为5m/s，所以 $C = 5$，因此 $v(t) = t^2 + 5$。在5到7秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int (35 - 5t) dt = 35t - 2.5t^2 + C$。由于在t=5时，速度为30m/s，所以 $C = -82.5$，因此 $v(t) = 35t - 2.5t^2 - 82.5$。
步骤 4：计算位置
根据速度的定义 $v = \frac{dx}{dt}$，可以计算出位置。在0到5秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 5) dt = \frac{1}{3}t^3 + 5t + C$。由于在t=0时，位置为2m，所以 $C = 2$，因此 $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 5t + 2$。在5到7秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (35t - 2.5t^2 - 82.5) dt = 17.5t^2 - 0.83t^3 - 82.5t + C$。由于在t=5时，位置为68.7m，所以 $C = 147.87$，因此 $x(t) = 17.5t^2 - 0.83t^3 - 82.5t + 147.87$。
步骤 5：计算7秒末的速度和位置
将t=7代入速度和位置的表达式中，可以计算出7秒末的速度和位置。速度为 $v(7) = 35 \times 7 - 2.5 \times 7^2 - 82.5 = 40m/s$。位置为 $x(7) = 17.5 \times 7^2 - 0.83 \times 7^3 - 82.5 \times 7 + 147.87 = 142m$。