题目
17. (4.0分) 设随机变量Xsim N(0,1),Y=e^X，则Y的概率密度f_(Y)(y)=A. f_(Y)(y)=}(1)/(y)e^-((ln y)^(2)/(2)),y>0,0,其他
17. (4.0分) 设随机变量$X\sim N(0,1),Y=e^{X}$，则Y的概率密度$f_{Y}(y)=$
A. $f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{y}e^{-\frac{(ln y)^{2}}{2}},y>0,\\0,其他\end{cases}$
B. $f_{y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\pi y}e^{-\frac{(ln y)^{2}}{2}},y>0,\\0,其他\end{cases}$
C. $f_{v}(y)=\begin{cases}\frac{1}{y}e^{\frac{(ln y)^{2}}{2}},y>0,\\0,其他\end{cases}$
D. $f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(ln y)^{2}}{2}},y>0,\\0,其他\end{cases}$
题目解答
答案
D. $f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(ln y)^{2}}{2}},y>0,\\0,其他\end{cases}$
解析
步骤 1：确定 $X$ 的概率密度函数
已知 $X \sim N(0,1)$，其概率密度函数为： \[ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]
步骤 2：确定 $Y$ 与 $X$ 的关系
令 $Y = e^X$，则 $X = \ln Y$，且 $Y$ 的取值范围为 $Y > 0$。
步骤 3：利用变量变换公式求 $Y$ 的概率密度函数
利用变量变换公式： \[ f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \left| \frac{d}{dy} \ln y \right| = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln y)^2}{2}} \cdot \frac{1}{y} \] 化简得： \[ f_Y(y) = \frac{1}{y \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln y)^2}{2}}, \quad y > 0 \] 当 $y \leq 0$ 时，$f_Y(y) = 0$。
已知 $X \sim N(0,1)$，其概率密度函数为： \[ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]
步骤 2：确定 $Y$ 与 $X$ 的关系
令 $Y = e^X$，则 $X = \ln Y$，且 $Y$ 的取值范围为 $Y > 0$。
步骤 3：利用变量变换公式求 $Y$ 的概率密度函数
利用变量变换公式： \[ f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \left| \frac{d}{dy} \ln y \right| = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln y)^2}{2}} \cdot \frac{1}{y} \] 化简得： \[ f_Y(y) = \frac{1}{y \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln y)^2}{2}}, \quad y > 0 \] 当 $y \leq 0$ 时，$f_Y(y) = 0$。