题目
矩阵与相似，则的特征值为___,____,___,_______.
矩阵
与
相似，则的特征值为___,____,___,
_______.
题目解答
答案
因为矩阵与相似，
由相似的性质知矩阵与矩阵
的特征值相同.
故矩阵的特征值为2，2，5.
的特征值为
故的特征值为3，3，18.
则
故本题答案为2，2，5，162.
解析
步骤 1：确定矩阵A的特征值
矩阵A是一个对角矩阵，其特征值即为其对角线上的元素。因此，矩阵A的特征值为2，2，5。
步骤 2：计算${A}^{2}-2A+3E$的特征值
根据矩阵的性质，如果矩阵A的特征值为$\lambda$，则${A}^{2}$的特征值为${\lambda}^{2}$，$2A$的特征值为$2\lambda$，$3E$的特征值为3。因此，${A}^{2}-2A+3E$的特征值为${\lambda}^{2}-2\lambda+3$。将矩阵A的特征值2，2，5代入，得到${A}^{2}-2A+3E$的特征值为3，3，18。
步骤 3：计算$|{A}^{2}-2A+3E|$
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。因此，$|{A}^{2}-2A+3E|=3\times 3\times 18=162$。
矩阵A是一个对角矩阵，其特征值即为其对角线上的元素。因此，矩阵A的特征值为2，2，5。
步骤 2：计算${A}^{2}-2A+3E$的特征值
根据矩阵的性质，如果矩阵A的特征值为$\lambda$，则${A}^{2}$的特征值为${\lambda}^{2}$，$2A$的特征值为$2\lambda$，$3E$的特征值为3。因此，${A}^{2}-2A+3E$的特征值为${\lambda}^{2}-2\lambda+3$。将矩阵A的特征值2，2，5代入，得到${A}^{2}-2A+3E$的特征值为3，3，18。
步骤 3：计算$|{A}^{2}-2A+3E|$
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。因此，$|{A}^{2}-2A+3E|=3\times 3\times 18=162$。