解答题-|||-函数 f(x)= { , xgt 0 a-1, x=0 .-|||-(1)当a,b为何值时,f(x)在 x=0 处存在极限?-|||-(2)当a,b为何值时,f(x)在 x=0 处连续?

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限存在性与连续性的判定，涉及左右极限的计算及洛必达法则的应用。

解题思路：

1. 极限存在性：当左右极限存在且相等时，函数在该点存在极限。此时与函数在该点的定义无关。
2. 连续性：需同时满足三个条件：函数在该点有定义，左右极限存在且相等，且极限值等于函数值。

破题关键：

• 左极限（x→0⁻）：直接代入x<0时的表达式计算。
• 右极限（x→0⁺）：利用等价无穷小或洛必达法则求解，确定参数b的值。
• 连续性：在极限存在基础上，令函数值等于极限值，确定参数a的值。

第（1）题：当a,b为何值时，f(x)在x=0处存在极限？

计算左极限（x→0⁻）

当x→0⁻时，f(x)=x²−2，直接代入x=0：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 - 2 = -2$

计算右极限（x→0⁺）

当x→0⁺时，f(x)=\dfrac{\ln(1+bx)}{x}。由于当x→0时，分子ln(1+bx)~bx（等价无穷小），因此：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+bx)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{bx}{x} = b$

极限存在条件

左右极限相等时，函数在x=0处存在极限：
$-2 = b \quad \Rightarrow \quad b = -2$
此时，左极限和右极限均为-2，与a无关，故a可取任意值。

第（2）题：当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续？

连续性条件

1. 函数在x=0处有定义：f(0)=a−1。
2. 极限存在：由第（1）题知，需b=−2，此时极限值为−2。
3. 极限值等于函数值：
   $a - 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1$

综上，当a=−1，b=−2时，f(x)在x=0处连续。