一质量为10kg的物体沿着x轴无摩擦地滑动，t=0时物体静止于原点， （1）若物体在力F=3+4t(N)的作用下运动了3s，它的速度多大？ （2）物体在力F=3+4x（N的作用下运动了3m，它的速度增为多大？

考查要点：
本题涉及变力作用下的物体运动问题，分别考查动量定理和动能定理的应用。

1. 第（1）题：力随时间变化，需通过动量定理计算冲量，进而求速度。
2. 第（2）题：力随位移变化，需通过动能定理计算功，进而求速度。

解题核心思路：

• 变力问题需积分处理：当力是时间或位移的函数时，需对力在时间或位移上积分，分别对应动量定理和动能定理。
• 初始条件：物体初始静止，初速度和初动能均为零。

第（1）题

力随时间变化，求速度

应用动量定理

动量定理公式为：
$\int_{0}^{t} F(t) \, dt = m \Delta v$
已知 $F(t) = 3 + 4t$，$m = 10 \, \text{kg}$，$t = 3 \, \text{s}$，初速度 $v_0 = 0$。

计算积分

$\int_{0}^{3} (3 + 4t) \, dt = \left[ 3t + 2t^2 \right]_{0}^{3} = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 = 9 + 18 = 27 \, \text{N·s}$

求速度

$v = \frac{\text{冲量}}{m} = \frac{27}{10} = 2.7 \, \text{m/s}$

第（2）题

力随位移变化，求速度

应用动能定理

动能定理公式为：
$\int_{0}^{x} F(x) \, dx = \frac{1}{2} m v^2$
已知 $F(x) = 3 + 4x$，$m = 10 \, \text{kg}$，位移 $x = 3 \, \text{m}$，初动能为 $0$。

计算积分

$\int_{0}^{3} (3 + 4x) \, dx = \left[ 3x + 2x^2 \right]_{0}^{3} = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 = 9 + 18 = 27 \, \text{J}$

求速度

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot v^2 = 27 \implies v^2 = \frac{27 \cdot 2}{10} = 5.4 \implies v = \sqrt{5.4} \approx 2.3 \, \text{m/s}$