题目
罐中有15粒两种不同的玉米种子，其中10粒甲种子，5粒乙种子，从中任取3粒，求：(1)取到的都是甲种子的概率。(2)取到的3粒是同一品种的概率。(3)至少取到一粒乙种子的概率。(4)至少取到两粒乙种子的概率。
罐中有15粒两种不同的玉米种子，其中10粒甲种子，5粒乙种子，从中任取3粒，求：
(1)取到的都是甲种子的概率。
(2)取到的3粒是同一品种的概率。
(3)至少取到一粒乙种子的概率。
(4)至少取到两粒乙种子的概率。
题目解答
答案
(1)取到的都是甲种子的概率$$p=\frac{C_{10}^3}{C_{15}^3}=\frac{120}{35\times 13}=\frac{24}{91}$$
(2)取到的3粒是同一品种的概率$$p=\frac{C_{10}^3+C_5^3}{C_{15}^3}=\frac{120+10}{35\times 13}=\frac{2}{7}$$
(3)至少取到一粒乙种子的概率$$p=1-\frac{C_{10}^3}{C_{15}^3}=1-\frac{120}{35\times 13}=\frac{67}{91}$$
(4)至少取到两粒乙种子的概率$$p=\frac{C_{10}^1C_5^2+C_5^3}{C_{15}^3}=\frac{110}{35\times 13}$$$$=\frac{22}{91}$$
解析
步骤 1：计算取到的都是甲种子的概率
取到的都是甲种子的概率，即从10粒甲种子中取出3粒的概率，用组合数表示为$$C_{10}^3$$，而从15粒种子中取出3粒的总组合数为$$C_{15}^3$$。因此，取到的都是甲种子的概率为$$\frac{C_{10}^3}{C_{15}^3}$$。
步骤 2：计算取到的3粒是同一品种的概率
取到的3粒是同一品种的概率，即取到的3粒都是甲种子或都是乙种子的概率。用组合数表示为$$C_{10}^3+C_5^3$$，而从15粒种子中取出3粒的总组合数为$$C_{15}^3$$。因此，取到的3粒是同一品种的概率为$$\frac{C_{10}^3+C_5^3}{C_{15}^3}$$。
步骤 3：计算至少取到一粒乙种子的概率
至少取到一粒乙种子的概率，即取到的3粒种子中至少有一粒是乙种子的概率。这可以通过1减去取到的都是甲种子的概率来计算，即$$1-\frac{C_{10}^3}{C_{15}^3}$$。
步骤 4：计算至少取到两粒乙种子的概率
至少取到两粒乙种子的概率，即取到的3粒种子中至少有两粒是乙种子的概率。这可以通过取到的3粒种子中恰好有两粒是乙种子的概率加上取到的3粒种子中恰好有三粒是乙种子的概率来计算，即$$\frac{C_{10}^1C_5^2+C_5^3}{C_{15}^3}$$。
取到的都是甲种子的概率，即从10粒甲种子中取出3粒的概率，用组合数表示为$$C_{10}^3$$，而从15粒种子中取出3粒的总组合数为$$C_{15}^3$$。因此，取到的都是甲种子的概率为$$\frac{C_{10}^3}{C_{15}^3}$$。
步骤 2：计算取到的3粒是同一品种的概率
取到的3粒是同一品种的概率，即取到的3粒都是甲种子或都是乙种子的概率。用组合数表示为$$C_{10}^3+C_5^3$$，而从15粒种子中取出3粒的总组合数为$$C_{15}^3$$。因此，取到的3粒是同一品种的概率为$$\frac{C_{10}^3+C_5^3}{C_{15}^3}$$。
步骤 3：计算至少取到一粒乙种子的概率
至少取到一粒乙种子的概率，即取到的3粒种子中至少有一粒是乙种子的概率。这可以通过1减去取到的都是甲种子的概率来计算，即$$1-\frac{C_{10}^3}{C_{15}^3}$$。
步骤 4：计算至少取到两粒乙种子的概率
至少取到两粒乙种子的概率，即取到的3粒种子中至少有两粒是乙种子的概率。这可以通过取到的3粒种子中恰好有两粒是乙种子的概率加上取到的3粒种子中恰好有三粒是乙种子的概率来计算，即$$\frac{C_{10}^1C_5^2+C_5^3}{C_{15}^3}$$。