【例题 2.7.2 基础题】求极限lim_(ntoinfty)((1)/(2)+(3)/(2^2)+(5)/(2^3)+...+(2n-1)/(2^n))

考查要点：本题主要考查数列求和的错位相减法以及等比数列求和公式的应用，同时需要掌握极限的运算性质。

解题核心思路：
题目中的数列通项为$\frac{2k-1}{2^k}$，直接求和较复杂。通过构造$S_n$并错位相减，将原式转化为等比数列求和问题，再结合极限运算化简得到结果。

破题关键点：

1. 错位相减法：通过构造$2S_n$与原式相减，消去复杂项，得到简化表达式。
2. 等比数列求和：识别出相减后出现的等比数列结构，应用求和公式。
3. 极限处理：当$n \to \infty$时，分析剩余项的极限值为0，最终得到结果。

设$S_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + \cdots + \frac{2n-1}{2^n}$，步骤如下：

步骤1：构造$2S_n$

$2S_n = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \cdots + \frac{2n-1}{2^{n-1}}$

步骤2：错位相减

用$2S_n - S_n$消去中间项：
$\begin{aligned}2S_n - S_n &= \left(1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \cdots + \frac{2n-1}{2^{n-1}}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \cdots + \frac{2n-1}{2^n}\right) \\S_n &= 1 + \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{5}{2^2} - \frac{3}{2^2}\right) + \cdots + \left(\frac{2n-1}{2^{n-1}} - \frac{2n-3}{2^{n-1}}\right) - \frac{2n-1}{2^n} \\&= 1 + 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right) - \frac{2n-1}{2^n}\end{aligned}$

步骤3：等比数列求和

中间部分为等比数列，首项$a = \frac{1}{2}$，公比$r = \frac{1}{2}$，项数$n-1$：
$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$

步骤4：代入并化简

$S_n = 1 + 2\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) - \frac{2n-1}{2^n} = 3 - \frac{2n+3}{2^n}$

步骤5：取极限

当$n \to \infty$时，$\frac{2n+3}{2^n} \to 0$（因指数增长快于线性增长），故：
$\lim_{n \to \infty} S_n = 3$