1.求图 6-1 中各阴影部分的面积:-|||-y-|||-1 y=e-|||-y=√x-|||-y=x y=e^x-|||-0 x 0 x-|||-(1) (2)-|||-y y↑-|||-y=2x y=2x+3-|||-y=3-x^2-|||-0 x y=x^2-|||-1-|||-A 7 O x-|||-(3) (4)-|||-图 6-1

考查要点：本题主要考查定积分在平面图形面积中的应用，涉及积分变量的选择、积分区间的确定以及分段积分的处理方法。

解题思路：

1. 确定交点：通过联立方程找到曲线交点，确定积分区间。
2. 选择积分变量：根据图形形状选择$x$或$y$作为积分变量，通常选择能简化计算的变量。
3. 设定积分表达式：根据上下曲线（或左右曲线）的垂直（或水平）差建立积分式。
4. 计算积分：正确执行积分运算，注意代数运算和微积分规则。

关键点：

• 积分变量的选择直接影响积分表达式的复杂度。
• 分段积分适用于图形边界由不同函数分段组成的区域。

第（1）题

图形范围：由$y=\sqrt{x}$和$y=x$围成。

确定交点

联立$\begin{cases} y=\sqrt{x} \\ y=x \end{cases}$，解得$(0,0)$和$(1,1)$。

积分变量选择

• 以$x$为变量：积分区间$[0,1]$，面积元素为$\sqrt{x} - x$。
• 以$y$为变量：积分区间$[0,1]$，面积元素为$y^2 - y$（由$x=y^2$和$x=y$得）。

积分计算

两种方法结果均为$\dfrac{1}{6}$。

第（2）题

图形范围：由$y=e$和$y=e^x$围成。

确定交点

联立$\begin{cases} y=e \\ y=e^x \end{cases}$，解得$x=1$，交点为$(1,e)$。

积分变量选择

• 以$x$为变量：积分区间$[0,1]$，面积元素为$e - e^x$。
• 以$y$为变量：积分区间$[1,e]$，面积元素为$\ln y$（由$x=\ln y$得）。

积分计算

两种方法结果均为$1$。

第（3）题

图形范围：由$y=2x$和$y=3-x^2$围成。

确定交点

联立$\begin{cases} y=2x \\ y=3-x^2 \end{cases}$，解得$x=-3$和$x=1$，交点为$(-3,-6)$和$(1,2)$。

积分变量选择

• 以$x$为变量：积分区间$[-3,1]$，面积元素为$(3-x^2) - 2x$。
• 以$y$为变量：需分段处理，计算复杂。

积分计算

结果为$\dfrac{32}{3}$。

第（4）题

图形范围：由$y=2x+3$和$y=x^2$围成。

确定交点

联立$\begin{cases} y=2x+3 \\ y=x^2 \end{cases}$，解得$x=-1$和$x=3$，交点为$(-1,1)$和$(3,9)$。

积分变量选择

• 以$x$为变量：积分区间$[-1,3]$，面积元素为$(2x+3) - x^2$。

积分计算

结果为$\dfrac{32}{3}$。