题目
有一质点沿x轴作直线运动,t时刻的坐标为x=4.5t^2-2t^3(SI).试求:(1)第2秒内的平均速度(2)第2秒末的瞬时速度(3)第2秒内的路程
有一质点沿$$x$$轴作直线运动,$$t$$时刻的坐标为$$x=4.5t^2-2t^3(SI)$$.试求:
(1)第2秒内的平均速度
(2)第2秒末的瞬时速度
(3)第2秒内的路程
题目解答
答案
解：以x轴正方向为正方向
$$v=x'=9t-6t^2$$
$$v=0$$时,$$t=0或1.5$$
1.第二秒初$$t=1,x=2.5$$
第二秒末 $$t=2,x=2$$
$$v_{平均}=\frac{2-2.5}{1}=-0.5$$
$$v_{平均}=-0.5$$，方向x轴的负方向。
2.第二秒末$$t=2,v=9×2-6×2×2=-6$$
3.$$t=1.5$$时,$$v=0$$
$$x=4.5×1.5×1.5-2×1.5×1.5×1.5=3.375$$
路程$$l=(3.375-2.5)+(3.375-2)=2.25$$
解析
步骤 1：计算第2秒初和第2秒末的坐标
根据题目给出的质点沿$$x$$轴的运动方程$$x=4.5t^2-2t^3$$，我们首先计算第2秒初（$$t=1$$）和第2秒末（$$t=2$$）的坐标。
- 第2秒初（$$t=1$$）的坐标：$$x(1)=4.5×1^2-2×1^3=4.5-2=2.5$$
- 第2秒末（$$t=2$$）的坐标：$$x(2)=4.5×2^2-2×2^3=4.5×4-2×8=18-16=2$$
步骤 2：计算第2秒内的平均速度
平均速度$$v_{平均}$$定义为位移除以时间间隔。第2秒内的位移为$$x(2)-x(1)$$，时间间隔为1秒。
$$v_{平均}=\frac{x(2)-x(1)}{2-1}=\frac{2-2.5}{1}=-0.5$$
步骤 3：计算第2秒末的瞬时速度
瞬时速度$$v$$是位置随时间变化的导数，即$$v=x'$$。根据题目给出的运动方程，我们计算其导数。
$$v=x'=9t-6t^2$$
将$$t=2$$代入上式，得到第2秒末的瞬时速度。
$$v(2)=9×2-6×2^2=18-24=-6$$
步骤 4：计算第2秒内的路程
路程是质点在一段时间内实际走过的路径长度。由于质点在第2秒内先向正方向运动，然后向负方向运动，我们需要计算质点在第2秒内经过的总距离。
- 第2秒内，质点在$$t=1.5$$时速度为0，此时坐标为$$x(1.5)=4.5×1.5^2-2×1.5^3=3.375$$
- 第2秒内的路程为质点从$$t=1$$到$$t=1.5$$的位移加上从$$t=1.5$$到$$t=2$$的位移。
$$l=(3.375-2.5)+(3.375-2)=0.875+1.375=2.25$$
根据题目给出的质点沿$$x$$轴的运动方程$$x=4.5t^2-2t^3$$，我们首先计算第2秒初（$$t=1$$）和第2秒末（$$t=2$$）的坐标。
- 第2秒初（$$t=1$$）的坐标：$$x(1)=4.5×1^2-2×1^3=4.5-2=2.5$$
- 第2秒末（$$t=2$$）的坐标：$$x(2)=4.5×2^2-2×2^3=4.5×4-2×8=18-16=2$$
步骤 2：计算第2秒内的平均速度
平均速度$$v_{平均}$$定义为位移除以时间间隔。第2秒内的位移为$$x(2)-x(1)$$，时间间隔为1秒。
$$v_{平均}=\frac{x(2)-x(1)}{2-1}=\frac{2-2.5}{1}=-0.5$$
步骤 3：计算第2秒末的瞬时速度
瞬时速度$$v$$是位置随时间变化的导数，即$$v=x'$$。根据题目给出的运动方程，我们计算其导数。
$$v=x'=9t-6t^2$$
将$$t=2$$代入上式，得到第2秒末的瞬时速度。
$$v(2)=9×2-6×2^2=18-24=-6$$
步骤 4：计算第2秒内的路程
路程是质点在一段时间内实际走过的路径长度。由于质点在第2秒内先向正方向运动，然后向负方向运动，我们需要计算质点在第2秒内经过的总距离。
- 第2秒内，质点在$$t=1.5$$时速度为0，此时坐标为$$x(1.5)=4.5×1.5^2-2×1.5^3=3.375$$
- 第2秒内的路程为质点从$$t=1$$到$$t=1.5$$的位移加上从$$t=1.5$$到$$t=2$$的位移。
$$l=(3.375-2.5)+(3.375-2)=0.875+1.375=2.25$$