题目

二、计算题（每题2分，共12分）1.用克莱姆法则解下列线性方程组：}4x+5y=143x-7y=-11

二、计算题（每题2分，共12分） 1.用克莱姆法则解下列线性方程组：$\begin{cases}4x+5y=14\\3x-7y=-11\end{cases}$

题目解答

答案

  1. 计算系数行列式 $D$：
    $D = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & -7 \end{vmatrix} = 4 \times (-7) - 5 \times 3 = -28 - 15 = -43$

  2. 计算 $D_1$（替换第一列）：
    $D_1 = \begin{vmatrix} 14 & 5 \\ -11 & -7 \end{vmatrix} = 14 \times (-7) - 5 \times (-11) = -98 + 55 = -43$

  3. 计算 $D_2$（替换第二列）：
    $D_2 = \begin{vmatrix} 4 & 14 \\ 3 & -11 \end{vmatrix} = 4 \times (-11) - 14 \times 3 = -44 - 42 = -86$

  4. 求解 $x$ 和 $y$：
    $x = \frac{D_1}{D} = \frac{-43}{-43} = 1, \quad y = \frac{D_2}{D} = \frac{-86}{-43} = 2$

答案：
$\boxed{\begin{cases}x = 1 \\y = 2\end{cases}}$

解析

本题考查克莱姆法则解线性方程组的知识点。解题思路是先根据线性方程组写出系数行列式 $D$，再分别写出用常数项替换系数行列式中第一列和第二列后得到的行列式 $D_1$ 和 $D_2$，最后根据克莱姆法则 $x = \frac{D_1}{D}$，$y = \frac{D_2}{D}$ 计算出 $x$ 和 $y$ 的值。

详细计算过程

  1. 计算系数行列式 $D$
    对于线性方程组 $\begin{cases}4x + 5y = 14\\3x - 7y = -11\end{cases}$，其系数行列式 $D$ 为：
    $D=\begin{vmatrix}4&5\\3& - 7\end{vmatrix}$
    根据二阶行列式的计算公式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得：
    $D = 4\times(-7)-5\times3=-28 - 15=-43$
  2. 计算 $D_1$
    $D_1$ 是用常数项替换系数行列式 $D$ 的第一列后得到的行列式，即：
    $D_1=\begin{vmatrix}14&5\\ - 11& - 7\end{vmatrix}$
    同样根据二阶行列式的计算公式可得：
    $D_1 = 14\times(-7)-5\times(-11)=-98 + 55=-43$
  3. 计算 $D_2$
    $D_2$ 是用常数项替换系数行列式 $D$ 的第二列后得到的行列式，即：
    $D_2=\begin{vmatrix}4&14\\3& - 11\end{vmatrix}$
    根据二阶行列式的计算公式可得：
    $D_2 = 4\times(-11)-14\times3=-44 - 42=-86$
  4. 求解 $x$ 和 $y$
    根据克莱姆法则，$x=\frac{D_1}{D}$，$y=\frac{D_2}{D}$，将 $D=-43$，$D_1 = - 43$，$D_2=-86$ 代入可得：
    $x=\frac{D_1}{D}=\frac{-43}{-43}=1$
    $y=\frac{D_2}{D}=\frac{-86}{-43}=2$