14. 求不定积分int(x^2+5x+2)/(x^2)+4dx

为了求不定积分 $\int \frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4} \, dx$，我们首先对被积函数进行分部分解。注意到分子的次数等于分母的次数，因此我们可以进行多项式长除法。

1. 多项式长除法:

   将 $x^2 + 5x + 2$ 除以 $x^2 + 4$。

   • 第一步: $x^2$ 除以 $x^2$ 得到 $1$。
   • 第二步: $1$ 乘以 $x^2 + 4$ 得到 $x^2 + 4$。
   • 第三步: $x^2 + 5x + 2$ 减去 $x^2 + 4$ 得到 $5x - 2$。

   所以，我们有:
   $\frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4} = 1 + \frac{5x - 2}{x^2 + 4}$

2. 积分分解:

   现在，我们可以将积分分解为两部分:
   $\int \frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4} \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{5x - 2}{x^2 + 4} \, dx$

3. 计算第一部分积分:

   第一部分积分很简单:
   $\int 1 \, dx = x + C_1$

4. 计算第二部分积分:

   对于第二部分积分 $\int \frac{5x - 2}{x^2 + 4} \, dx$，我们可以将其进一步分解为两个积分:
   $\int \frac{5x - 2}{x^2 + 4} \, dx = 5 \int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx - 2 \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$

   • 计算 $5 \int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx$:

     使用换元法，令 $u = x^2 + 4$，则 $du = 2x \, dx$，所以 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。代入积分，得到:
     $5 \int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx = 5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{5}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{5}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{5}{2} \ln(x^2 + 4) + C_2$

   • 计算 $-2 \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$:

     使用公式 $\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$，其中 $a = 2$，得到:
     $-2 \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = -2 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C_3 = -\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C_3$

5. 合并所有部分:

   将所有部分积分合并，得到:
   $\int \frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4} \, dx = x + \frac{5}{2} \ln(x^2 + 4) - \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$
   其中 $C = C_1 + C_2 + C_3$ 是任意常数。

因此，最终答案是:
$\boxed{x + \frac{5}{2} \ln(x^2 + 4) - \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C}$