题目

(8)lim_(xto2^+)(cos xcdotln(x-2))/(ln(e^x)-e^(2));

(8)$\lim_{x\to2^{+}}\frac{\cos x\cdot\ln(x-2)}{\ln(e^{x}-e^{2})}$;

题目解答

答案

当 $x \to 2^+$ 时，$\ln(x-2) \to -\infty$，$\ln(e^x - e^2) \to -\infty$。利用等价无穷小替换，有 \[ e^x - e^2 \approx e^2(x-2) \quad \Rightarrow \quad \ln(e^x - e^2) \approx 2 + \ln(x-2). \] 原极限化为 \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{\cos x \cdot \ln(x-2)}{2 + \ln(x-2)}. \] 设 $y = \ln(x-2)$，则 $y \to -\infty$，极限变为 \[ \cos 2 \cdot \lim_{y \to -\infty} \frac{y}{2 + y} = \cos 2 \cdot 1 = \cos 2. \] **答案：** $\boxed{\cos 2}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换和变量代换处理趋向于无穷的表达式。

解题核心思路：
当$x \to 2^+$时，分子$\ln(x-2)$和分母$\ln(e^x - e^2)$均趋向于$-\infty$，形成$\frac{-\infty}{-\infty}$型不定式。通过等价无穷小替换简化分母，再通过变量代换将极限转化为关于$y \to -\infty$的简单极限，最终结合$\cos x$的连续性求解。

破题关键点：

  1. 等价无穷小替换：利用$e^x - e^2 \approx e^2(x-2)$简化分母中的$\ln(e^x - e^2)$。
  2. 变量代换：令$y = \ln(x-2)$，将极限转化为关于$y \to -\infty$的形式，简化计算。

步骤1：分析分子与分母的趋向性
当$x \to 2^+$时，$x-2 \to 0^+$，因此：

  • 分子：$\cos x \cdot \ln(x-2) \to \cos 2 \cdot (-\infty) = -\infty$
  • 分母：$\ln(e^x - e^2) \to \ln(0^+) = -\infty$

步骤2：等价无穷小替换
利用泰勒展开，当$x \to 2$时：
$e^x - e^2 = e^2 \cdot (e^{x-2} - 1) \approx e^2 \cdot (x-2)$
因此：
$\ln(e^x - e^2) \approx \ln(e^2 \cdot (x-2)) = 2 + \ln(x-2)$

步骤3：变量代换
令$y = \ln(x-2)$，则当$x \to 2^+$时，$y \to -\infty$。原极限变为：
$\lim_{x \to 2^+} \frac{\cos x \cdot \ln(x-2)}{2 + \ln(x-2)} = \cos 2 \cdot \lim_{y \to -\infty} \frac{y}{2 + y}$

步骤4：计算简化后的极限
分子分母同除以$y$：
$\lim_{y \to -\infty} \frac{1}{\frac{2}{y} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

最终结果：
$\cos 2 \cdot 1 = \cos 2$