区域zoverline(z)-(2+i)z-(2-i)overline(z)A. 圆环B. 半圆C. 椭圆D. 圆

本题考查复数的运算以及圆的方程的判断。解题思路是通过设出复数$z$的实部和虚部，将复数形式的不等式转化为实数形式的方程，再根据圆的标准方程的形式来判断区域的形状。

设$z = x + yi$，其中$x,y\in R$，则$\overline{z}=x - yi$。

1. 首先计算$z\overline{z}$：
   根据$z\overline{z}=(x + yi)(x - yi)$，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$可得$z\overline{z}=x^2-(yi)^2=x^2 + y^2$。
2. 然后计算$(2 + i)z$和$(2 - i)\overline{z}$：
   $(2 + i)z=(2 + i)(x + yi)=2x+2yi+xi+yi^2=2x - y+(2y + x)i$；
   $(2 - i)\overline{z}=(2 - i)(x - yi)=2x-2yi-xi+yi^2=2x - y-(2y + x)i$。
3. 接着计算$(2 + i)z+(2 - i)\overline{z}$：
   $(2 + i)z+(2 - i)\overline{z}=[2x - y+(2y + x)i]+[2x - y-(2y + x)i]$
   $=(2x - y+2x - y)+[(2y + x)-(2y + x)]i=4x - 2y$。
4. 最后将上述结果代入原不等式：
   原不等式$z\overline{z}-(2 + i)z-(2 - i)\overline{z}<4$可化为$x^2 + y^2-(4x - 2y)<4$。
   对不等式进行配方：
   $\begin{align*}x^2 + y^2-(4x - 2y)&<4\\x^2 - 4x + y^2 + 2y&<4\\x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1&<4 + 4 + 1\\(x - 2)^2+(y + 1)^2&<9\end{align*}$
   根据圆的标准方程$(x - a)^2+(y - b)^2=r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径），可知$(x - 2)^2+(y + 1)^2<9$表示以$(2,-1)$为圆心，$3$为半径的圆的内部，所以区域$z\overline{z}-(2 + i)z-(2 - i)\overline{z}<4$的形状为圆。