5.(1)用定积分证明半径为R高为H的球缺的体积为 =pi (r)^2(R-dfrac (H)(3)) s-|||-(2)半径为R的球,其密度a大于水的密度1,球悬浮于水下与水平面相切的位置,将球金部提出水面-|||-需做多少功?
题目解答
答案
解析
1. 球缺体积的定积分证明
本题考查定积分在几何体积计算中的应用。核心思路是将球缺沿高度方向分割为无数个微小圆柱片，通过积分求和得到总体积。关键在于建立积分变量与半径的关系，并正确确定积分上下限。
2. 提升球体的做功计算
本题需结合能量守恒与重力势能变化分析。需注意球密度大于水却能悬浮，隐含存在外部约束条件。计算时需考虑球和水的重心变化，通过系统势能变化求总功。
第（1）题
建立坐标系与变量关系
以球缺底面为原点，竖直方向为$h$轴，球心位于$(0,0,R)$。任一高度$h$处的微小圆柱片半径$r$满足球方程：
$r^2 + (R - h)^2 = R^2 \implies r^2 = R^2 - (R - h)^2.$
积分求体积
微小圆柱片体积为$\pi r^2 \, dh$，积分范围$h \in [0, H]$：
$V = \int_{0}^{H} \pi r^2 \, dh = \pi \int_{0}^{H} \left[ R^2 - (R - h)^2 \right] dh.$
化简积分
展开被积函数：
$R^2 - (R - h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2.$
积分得：
$V = \pi \int_{0}^{H} (2Rh - h^2) \, dh = \pi \left[ R h^2 - \frac{h^3}{3} \right]_{0}^{H} = \pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right).$
第（2）题
系统分析
球密度$\delta > 1$但悬浮，说明存在外部支撑（如细绳）。提出水面需克服球的重力势能增加和水的重力势能减少。
重心变化
- 球：原重心在水中位置（高度$R$），提出后重心升至$3R$，升高$2R$。
- 水：被排开的水体积为球体积$\frac{4}{3}\pi R^3$，原重心在$R$，填满后重心降为$0$，下降$R$。
势能变化
- 球的势能增加：
$\Delta E_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 \delta g \cdot 2R.$ - 水的势能减少：
$\Delta E_2 = \frac{4}{3}\pi R^3 g \cdot R.$
总功计算
手提做功为系统势能净变化：
$W = \Delta E_1 - \Delta E_2 = \frac{4}{3}\pi R^2 g \left( 2\delta - 1 \right) R.$