曲面 z = xy 在其上某点处的法线垂直于平面 x + 3y + z + 9 = 0 ，则该点是:A. (-3, -1, 3)B. (-1, -3, 3)C. (3, 1, 3)D. (1, 3, 3)

本题考查曲面的法线向量以及两向量平行的性质。解题的关键思路是先求出曲面$z = xy$的法线向量，再根据法线与已知平面垂直，得到两向量平行的关系，进而求出曲面上满足条件的点。

1. 求曲面$z = xy$的法线向量：
   • 设$F(x,y,z)=xy - z$，则曲面$z = xy$是函数$F(x,y,z)=0$所表示的曲面。
   • 根据求偏导数公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$F(x,y,z)$求关于$x$、$y$、$z$的偏导数：
     • $F_x=\frac{\partial F}{\partial x}=y$；
     • $F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=x$；
     • $F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。
   • 所以曲面$z = xy$在点$(x,y,z)$处的法线向量$\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)=(y,x,-1)$。
2. 求平面$x + 3y + z + 9 = 0$的法向量：
   • 对于平面$Ax+By + Cz+D = 0$，其法向量为$\vec{m}=(A,B,C)$。
   • 那么平面$x + 3y + z + 9 = 0$的法向量$\vec{m}=(1,3,1)$。
3. 根据两向量平行的性质列方程：
   • 因为曲面的法线垂直于平面，所以曲面的法线向量$\vec{n}$与平面的法向量$\vec{m}$平行。
   • 若两向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$平行，则存在实数$\lambda$，使得$\vec{a}=\lambda\vec{b}$，即$(x_1,y_1,z_1)=\lambda(x_2,y_2,z_2)$。
   • 所以$(y,x,-1)=\lambda(1,3,1)$，可得方程组$\begin{cases}y = \lambda\\x = 3\lambda\\-1=\lambda\end{cases}$。
4. 解方程组求出$x$、$y$的值：
   • 由$-1=\lambda$，将$\lambda=-1$代入$y = \lambda$，可得$y=-1$；代入$x = 3\lambda$，可得$x=-3$。
5. 求出$z$的值：
   • 因为点$(x,y,z)$在曲面$z = xy$上，把$x=-3$，$y=-1$代入$z = xy$，可得$z=(-3)\times(-1)=3$。