题目

(5)int_(0)^+inftye^-ptsinomega tdt(p>0,omega>0);

(5)$\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega tdt(p>0,\omega>0)$;

题目解答

答案

为了求解积分 $\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega t\,dt$，其中 $p > 0$ 和 $\omega > 0$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \] 我们选择 $u = \sin\omega t$ 和 $dv = e^{-pt}\,dt$。那么，我们有 $du = \omega\cos\omega t\,dt$ 和 $v = -\frac{1}{p}e^{-pt}$。应用分部积分法，我们得到： \[ \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega t\,dt = \left[-\frac{1}{p}e^{-pt}\sin\omega t\right]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty}-\frac{1}{p}e^{-pt}\omega\cos\omega t\,dt \] 首先，我们计算边界项 $\left[-\frac{1}{p}e^{-pt}\sin\omega t\right]_{0}^{+\infty}$。当 $t \to +\infty$ 时，$e^{-pt} \to 0$（因为 $p > 0$），所以 $-\frac{1}{p}e^{-pt}\sin\omega t \to 0$。当 $t = 0$ 时，$\sin 0 = 0$，所以 $-\frac{1}{p}e^{-p \cdot 0}\sin 0 = 0$。因此，边界项为： \[ \left[-\frac{1}{p}e^{-pt}\sin\omega t\right]_{0}^{+\infty} = 0 - 0 = 0 \] 所以，积分简化为： \[ \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega t\,dt = \frac{\omega}{p} \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\cos\omega t\,dt \] 现在，我们需要计算 $\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\cos\omega t\,dt$。我们再次使用分部积分法，选择 $u = \cos\omega t$ 和 $dv = e^{-pt}\,dt$。那么，我们有 $du = -\omega\sin\omega t\,dt$ 和 $v = -\frac{1}{p}e^{-pt}$。应用分部积分法，我们得到： \[ \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\cos\omega t\,dt = \left[-\frac{1}{p}e^{-pt}\cos\omega t\right]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty}-\frac{1}{p}e^{-pt}(-\omega\sin\omega t)\,dt \] 首先，我们计算边界项 $\left[-\frac{1}{p}e^{-pt}\cos\omega t\right]_{0}^{+\infty}$。当 $t \to +\infty$ 时，$e^{-pt} \to 0$，所以 $-\frac{1}{p}e^{-pt}\cos\omega t \to 0$。当 $t = 0$ 时，$\cos 0 = 1$，所以 $-\frac{1}{p}e^{-p \cdot 0}\cos 0 = -\frac{1}{p}$。因此，边界项为： \[ \left[-\frac{1}{p}e^{-pt}\cos\omega t\right]_{0}^{+\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{p}\right) = \frac{1}{p} \] 所以，积分简化为： \[ \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\cos\omega t\,dt = \frac{1}{p} - \frac{\omega}{p} \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega t\,dt \] 设 $I = \int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega t\,dt$。那么我们有： \[ I = \frac{\omega}{p} \left( \frac{1}{p} - \frac{\omega}{p} I \right) = \frac{\omega}{p^2} - \frac{\omega^2}{p^2} I \] Rearranging terms, we get: \[ I + \frac{\omega^2}{p^2} I = \frac{\omega}{p^2} \] \[ \left(1 + \frac{\omega^2}{p^2}\right) I = \frac{\omega}{p^2} \] \[ \frac{p^2 + \omega^2}{p^2} I = \frac{\omega}{p^2} \] \[ (p^2 + \omega^2) I = \omega \] \[ I = \frac{\omega}{p^2 + \omega^2} \] 因此，积分 $\int_{0}^{+\infty}e^{-pt}\sin\omega t\,dt$ 的值是： \[ \boxed{\frac{\omega}{p^2 + \omega^2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法在求解无穷积分中的应用，以及如何通过两次分部积分建立方程求解积分值。

解题核心思路：

  1. 分部积分法：通过两次分部积分，将原积分转化为自身的形式，建立方程求解。
  2. 边界项处理：利用指数函数在无穷远处的衰减性，简化边界项的计算。
  3. 代数运算：通过代数变形解出积分值。

破题关键点：

  • 选择合适的分部积分变量，使得积分过程逐步简化。
  • 两次分部积分后，将结果联立，形成关于原积分的方程。
  • 注意符号处理，避免代数运算中的错误。

设原积分为 $I = \int_{0}^{+\infty} e^{-pt} \sin \omega t \, dt$，分步求解如下：

第一次分部积分

选择 $u = \sin \omega t$，则 $du = \omega \cos \omega t \, dt$；
选择 $dv = e^{-pt} dt$，则 $v = -\frac{1}{p} e^{-pt}$。
应用分部积分公式：
$\begin{aligned}I &= \left[ -\frac{1}{p} e^{-pt} \sin \omega t \right]_{0}^{+\infty} + \frac{\omega}{p} \int_{0}^{+\infty} e^{-pt} \cos \omega t \, dt.\end{aligned}$

边界项计算：

  • 当 $t \to +\infty$ 时，$e^{-pt} \to 0$，故第一项为 $0$；
  • 当 $t = 0$ 时，$\sin 0 = 0$，故边界项整体为 $0$。
    因此，$I = \frac{\omega}{p} \int_{0}^{+\infty} e^{-pt} \cos \omega t \, dt$。

第二次分部积分

设 $J = \int_{0}^{+\infty} e^{-pt} \cos \omega t \, dt$，选择 $u = \cos \omega t$，则 $du = -\omega \sin \omega t \, dt$；
选择 $dv = e^{-pt} dt$，则 $v = -\frac{1}{p} e^{-pt}$。
应用分部积分公式：
$\begin{aligned}J &= \left[ -\frac{1}{p} e^{-pt} \cos \omega t \right]_{0}^{+\infty} - \frac{\omega}{p} \int_{0}^{+\infty} e^{-pt} \sin \omega t \, dt.\end{aligned}$

边界项计算：

  • 当 $t \to +\infty$ 时，$e^{-pt} \to 0$，故第一项为 $0$；
  • 当 $t = 0$ 时，$\cos 0 = 1$，故边界项为 $-\frac{1}{p} \cdot (-1) = \frac{1}{p}$。
    因此，$J = \frac{1}{p} - \frac{\omega}{p} I$。

联立方程求解

将 $J = \frac{1}{p} - \frac{\omega}{p} I$ 代入 $I = \frac{\omega}{p} J$，得：
$I = \frac{\omega}{p} \left( \frac{1}{p} - \frac{\omega}{p} I \right).$
展开整理：
$I = \frac{\omega}{p^2} - \frac{\omega^2}{p^2} I \quad \Rightarrow \quad I + \frac{\omega^2}{p^2} I = \frac{\omega}{p^2}.$
提取公因子 $I$：
$I \left( 1 + \frac{\omega^2}{p^2} \right) = \frac{\omega}{p^2} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}.$