证明:当且仅当存在各点互不相同的点列 {P)_(n)} CE _(n)neq (P)_(0), lim (P)_(n)=(P)_(0) 时,P0是E的聚点.

步骤 1：充分性证明
假设存在一个点列 $\{ {P}_{n}\} \subseteq E$，其中 ${P}_{n}\neq {P}_{0}$，且 $\lim _{n\rightarrow \infty }{P}_{n}={P}_{0}$。我们需要证明 ${P}_{0}$ 是集合 $E$ 的聚点。
- 对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，根据极限的定义，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 ${P}_{n} \in U({P}_{0}; \varepsilon)$，其中 $U({P}_{0}; \varepsilon)$ 表示以 ${P}_{0}$ 为中心，$\varepsilon$ 为半径的开球。
- 因此，对于任意的 $\varepsilon > 0$，开球 $U({P}_{0}; \varepsilon)$ 中都包含点列 $\{ {P}_{n}\}$ 的无穷多个点，而这些点都属于集合 $E$。
- 这说明 ${P}_{0}$ 是集合 $E$ 的聚点。

步骤 2：必要性证明
假设 ${P}_{0}$ 是集合 $E$ 的聚点。我们需要证明存在一个点列 $\{ {P}_{n}\} \subseteq E$，其中 ${P}_{n}\neq {P}_{0}$，且 $\lim _{n\rightarrow \infty }{P}_{n}={P}_{0}$。
- 对于任意的 $\varepsilon > 0$，开球 $U({P}_{0}; \varepsilon)$ 中都包含集合 $E$ 中的无穷多个点。
- 取 $\varepsilon _{1} = 1$，则 $U({P}_{0}; \varepsilon _{1})$ 中包含集合 $E$ 中的点，取出一个，记为 ${P}_{1}$。
- 取 $\varepsilon _{2} = \min \{ \frac{1}{2}, |{P}_{1} - {P}_{0}|\}$，则 $U({P}_{0}; \varepsilon _{2})$ 中包含集合 $E$ 中的点，取出一个，记为 ${P}_{2}$。
- 依此类推，取 $\varepsilon _{n} = \min \{ \frac{1}{n}, |{P}_{1} - {P}_{0}|, \cdots, |{P}_{n-1} - {P}_{0}|\}$，则 $U({P}_{0}; \varepsilon _{n})$ 中包含集合 $E$ 中的点，取出一个，记为 ${P}_{n}$。
- 这样继续下去，得到一个各项互异的点列 $\{ {P}_{n}\}$，且 ${P}_{n} \neq {P}_{0}$，$\{ {P}_{n}\} \subseteq E$，且 $\lim _{n\rightarrow \infty }{P}_{n}={P}_{0}$。