求圆盘 ((x-2))^2+(y)^2leqslant 1 绕y轴旋转而成的旋转体的体积.

步骤 1：确定旋转体的生成方式
圆盘 ${(x-2)}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 绕y轴旋转，生成的旋转体是一个圆环面。这个圆环面可以看作是由两个圆柱体的差集构成的，其中一个是大圆柱体，另一个是小圆柱体。

步骤 2：确定大圆柱体的体积
大圆柱体的半径为 $2+\sqrt{1-y^2}$，高度为 $2$（从 $y=-1$ 到 $y=1$），因此大圆柱体的体积为：
$$V_{大} = \int_{-1}^{1} \pi (2+\sqrt{1-y^2})^2 dy$$

步骤 3：确定小圆柱体的体积
小圆柱体的半径为 $2-\sqrt{1-y^2}$，高度为 $2$（从 $y=-1$ 到 $y=1$），因此小圆柱体的体积为：
$$V_{小} = \int_{-1}^{1} \pi (2-\sqrt{1-y^2})^2 dy$$

步骤 4：计算旋转体的体积
旋转体的体积为大圆柱体的体积减去小圆柱体的体积：
$$V = V_{大} - V_{小} = \int_{-1}^{1} \pi (2+\sqrt{1-y^2})^2 dy - \int_{-1}^{1} \pi (2-\sqrt{1-y^2})^2 dy$$
$$= 8\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-y^2} dy$$
$$= 8\pi \left[ \frac{y}{2}\sqrt{1-y^2} + \frac{1}{2}\arcsin y \right]_{-1}^{1}$$
$$= 8\pi \left( \frac{1}{2}\arcsin 1 - \frac{1}{2}\arcsin (-1) \right)$$
$$= 8\pi \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)$$
$$= 8\pi \cdot \frac{\pi}{2}$$
$$= 4\pi^2$$