题目

曲线 y=(1)/(2)x^2, y=0, x=2 所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为() A (28)/(5)pi B (8)/(5)pi C 0 D (18)/(5)pi

曲线 $y=\frac{1}{2}x^2, y=0, x=2$ 所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为()

A $\frac{28}{5}\pi$

B $\frac{8}{5}\pi$

C $0$

D $\frac{18}{5}\pi$

题目解答

答案

由曲线 $y = \frac{1}{2}x^2$，$y = 0$，$x = 2$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转，体积 $V$ 可用圆盘法计算： \[ V = \pi \int_0^2 \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 \, dx = \pi \int_0^2 \frac{1}{4}x^4 \, dx = \frac{\pi}{4} \int_0^2 x^4 \, dx \] 计算积分得： \[ \int_0^2 x^4 \, dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_0^2 = \frac{32}{5} \] 代入得： \[ V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{32}{5} = \frac{8\pi}{5} \] 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算，使用圆盘法求解绕x轴旋转的体积。

解题核心思路：

  1. 确定积分区间：由曲线$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=0$（x轴）和$x=2$围成的区域，积分区间为$x=0$到$x=2$。
  2. 选择圆盘法公式：体积公式为$V = \pi \int_{a}^{b} [外半径]^2 \, dx$，其中外半径由曲线$y=\frac{1}{2}x^2$给出。
  3. 正确展开被积函数：注意平方运算的准确性，避免计算错误。

破题关键点：

  • 积分区间的确定需明确图形边界。
  • 被积函数需正确展开为$\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2$，避免漏掉系数或指数。

步骤1：确定积分区间与外半径

曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与$x=2$的交点为$(2, 2)$，与$x$轴的交点为$(0, 0)$，因此积分区间为$[0, 2]$。
外半径为曲线到x轴的距离，即$R(x) = \frac{1}{2}x^2$。

步骤2：应用圆盘法公式

体积公式为：
$V = \pi \int_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 \, dx$

步骤3：展开被积函数

$\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 = \frac{1}{4}x^4$

步骤4：计算积分

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4}x^4 \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{5} = \frac{8}{5}$

步骤5：代入体积公式

$V = \pi \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{5}\pi$