题目
15.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:-|||-(3) ^2+((y-5))^2=16, 绕x轴;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的生成曲线
给定的曲线是 ${x}^{2}+{(y-5)}^{2}=16$，这是一个圆心在 $(0, 5)$，半径为 $4$ 的圆。绕 $x$ 轴旋转，生成的旋转体是一个环形体。
步骤 2：确定旋转体的体积计算方法
旋转体的体积可以通过积分计算。对于绕 $x$ 轴旋转的旋转体，体积 $V$ 可以通过以下公式计算：
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]
其中 $f(x)$ 是旋转体的生成曲线的函数表达式，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。
步骤 3：计算旋转体的体积
首先，将圆的方程改写为 $y$ 关于 $x$ 的函数形式：
\[ y = 5 \pm \sqrt{16 - x^2} \]
绕 $x$ 轴旋转的旋转体体积可以表示为两个部分的差：
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} (5 + \sqrt{16 - x^2})^2 dx - \pi \int_{-4}^{4} (5 - \sqrt{16 - x^2})^2 dx \]
简化上述表达式：
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} (25 + 10\sqrt{16 - x^2} + 16 - x^2) dx - \pi \int_{-4}^{4} (25 - 10\sqrt{16 - x^2} + 16 - x^2) dx \]
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} (41 + 10\sqrt{16 - x^2} - x^2) dx - \pi \int_{-4}^{4} (41 - 10\sqrt{16 - x^2} - x^2) dx \]
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} 20\sqrt{16 - x^2} dx \]
\[ V = 20\pi \int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx \]
利用三角代换 $x = 4\sin t$，$dx = 4\cos t dt$，$t$ 的范围是 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$：
\[ V = 20\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2 t dt \]
\[ V = 80\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt \]
利用 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$：
\[ V = 80\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt \]
\[ V = 40\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) dt \]
\[ V = 40\pi \left[ t + \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \]
\[ V = 40\pi \left( \frac{\pi}{2} + 0 - (-\frac{\pi}{2} + 0) \right) \]
\[ V = 40\pi \pi \]
\[ V = 40\pi^2 \]
给定的曲线是 ${x}^{2}+{(y-5)}^{2}=16$，这是一个圆心在 $(0, 5)$，半径为 $4$ 的圆。绕 $x$ 轴旋转，生成的旋转体是一个环形体。
步骤 2：确定旋转体的体积计算方法
旋转体的体积可以通过积分计算。对于绕 $x$ 轴旋转的旋转体，体积 $V$ 可以通过以下公式计算：
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]
其中 $f(x)$ 是旋转体的生成曲线的函数表达式，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。
步骤 3：计算旋转体的体积
首先，将圆的方程改写为 $y$ 关于 $x$ 的函数形式：
\[ y = 5 \pm \sqrt{16 - x^2} \]
绕 $x$ 轴旋转的旋转体体积可以表示为两个部分的差：
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} (5 + \sqrt{16 - x^2})^2 dx - \pi \int_{-4}^{4} (5 - \sqrt{16 - x^2})^2 dx \]
简化上述表达式：
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} (25 + 10\sqrt{16 - x^2} + 16 - x^2) dx - \pi \int_{-4}^{4} (25 - 10\sqrt{16 - x^2} + 16 - x^2) dx \]
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} (41 + 10\sqrt{16 - x^2} - x^2) dx - \pi \int_{-4}^{4} (41 - 10\sqrt{16 - x^2} - x^2) dx \]
\[ V = \pi \int_{-4}^{4} 20\sqrt{16 - x^2} dx \]
\[ V = 20\pi \int_{-4}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx \]
利用三角代换 $x = 4\sin t$，$dx = 4\cos t dt$，$t$ 的范围是 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$：
\[ V = 20\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2 t dt \]
\[ V = 80\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt \]
利用 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$：
\[ V = 80\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt \]
\[ V = 40\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) dt \]
\[ V = 40\pi \left[ t + \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \]
\[ V = 40\pi \left( \frac{\pi}{2} + 0 - (-\frac{\pi}{2} + 0) \right) \]
\[ V = 40\pi \pi \]
\[ V = 40\pi^2 \]