题目

3.求极限lim_((x,y)to(0,0))(sin(xy))/(sqrt(4-xy)-2)=(0)/(0).

3.求极限$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{4-xy}-2}=\frac{0}{0}.$

题目解答

答案

为了求极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{4-xy}-2}$，我们首先需要处理分母中的根式。可以使用有理化的方法，即乘以分母的共轭表达式。分母的共轭表达式是 $\sqrt{4-xy}+2$。因此，我们有： \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{4-xy}-2} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{4-xy}-2} \cdot \frac{\sqrt{4-xy}+2}{\sqrt{4-xy}+2} \] 分子和分母相乘，得到： \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)(\sqrt{4-xy}+2)}{(\sqrt{4-xy})^2 - 2^2} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)(\sqrt{4-xy}+2)}{4-xy-4} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)(\sqrt{4-xy}+2)}{-xy} \] 可以将 $\sin(xy)$ 和 $-xy$ 约去，得到： \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{-xy} \cdot (\sqrt{4-xy}+2) \] 我们知道，当 $u \to 0$ 时，$\frac{\sin(u)}{u} \to 1$。令 $u = xy$，则当 $(x,y) \to (0,0)$ 时， $u \to 0$。因此，$\frac{\sin(xy)}{xy} \to 1$，从而 $\frac{\sin(xy)}{-xy} \to -1$。所以，极限变为： \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} -1 \cdot (\sqrt{4-xy}+2) = -1 \cdot (\sqrt{4-0}+2) = -1 \cdot (2+2) = -4 \] 因此，极限是： \[ \boxed{-4} \]

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极限的计算，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的方法，以及利用有理化和变量替换简化表达式的能力。

解题核心思路：

有理化分母：通过乘以分母的共轭表达式，消除根号，将分母转化为多项式形式。
约分简化：将分子和分母中的公共因子约去，分离出可应用标准极限$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$的部分。
代入求极限：结合变量替换，分别计算各部分的极限值，最终合并结果。

破题关键点：

识别分母的共轭表达式，通过有理化消除根号。
分离$\sin(xy)$与$xy$的比值，利用标准极限简化计算。
注意符号处理，避免约分时遗漏负号。

步骤1：有理化分母
原式为：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{4-xy}-2}$
分母$\sqrt{4-xy} - 2$的共轭为$\sqrt{4-xy} + 2$，将分子分母同时乘以共轭：
$\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{4-xy}-2} \cdot \frac{\sqrt{4-xy}+2}{\sqrt{4-xy}+2} &= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)(\sqrt{4-xy}+2)}{(\sqrt{4-xy})^2 - 2^2} \\&= \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)(\sqrt{4-xy}+2)}{-xy}.\end{aligned}$

步骤2：约分与分离极限
将$\sin(xy)$与$-xy$约分，得到：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(xy)}{-xy} \cdot (\sqrt{4-xy} + 2).$
其中，$\frac{\sin(xy)}{xy} \to 1$（当$xy \to 0$时），因此$\frac{\sin(xy)}{-xy} \to -1$。

步骤3：计算剩余部分
当$(x,y) \to (0,0)$时，$\sqrt{4-xy} \to \sqrt{4} = 2$，故：
$\sqrt{4-xy} + 2 \to 2 + 2 = 4.$
最终结果为：
$-1 \cdot 4 = -4.$