已知 A=} 0.6 & 0.5 0.1 & 0.3 ^2

为了确定给出的等式中哪一个有误，我们需要计算矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.5 \\ 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} $ 的各种范数，并将它们与给定的值进行比较。 ### 1. 计算 $ A $ 的 1-范数（列和范数） 矩阵的 1-范数是其列的绝对值之和的最大值。对于矩阵 $ A $： - 第一列的和为 $ |0.6| + |0.1| = 0.7 $。 - 第二列的和为 $ |0.5| + |0.3| = 0.8 $。 因此，$ A $ 的 1-范数为 $ \max(0.7, 0.8) = 0.8 $。 所以，等式 $ $A$_1 = 0.8 $ 是正确的。 ### 2. 计算 $ A $ 的 $\infty$-范数（行和范数） 矩阵的 $\infty$-范数是其行的绝对值之和的最大值。对于矩阵 $ A $： - 第一行的和为 $ |0.6| + |0.5| = 1.1 $。 - 第二行的和为 $ |0.1| + |0.3| = 0.4 $。 因此，$ A $ 的 $\infty$-范数为 $ \max(1.1, 0.4) = 1.1 $。 所以，等式 $ $A$_\infty = 1.1 $ 是正确的。 ### 3. 计算 $ A $ 的 2-范数（谱范数） 矩阵的 2-范数是其最大奇异值，即 $ A^T A $ 的最大特征值的平方根。首先，我们计算 $ A^T A $： \[ A^T = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 \\ 0.5 & 0.3 \end{pmatrix} \] \[ A^T A = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.1 \\ 0.5 & 0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.6 & 0.5 \\ 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6^2 + 0.1^2 & 0.6 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.3 \\ 0.5 \cdot 0.6 + 0.3 \cdot 0.1 & 0.5^2 + 0.3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.37 & 0.33 \\ 0.33 & 0.34 \end{pmatrix} \] 接下来，我们找到 $ A^T A $ 的特征值。特征值是特征方程 $ \det(A^T A - \lambda I) = 0 $ 的解： \[ \det \begin{pmatrix} 0.37 - \lambda & 0.33 \\ 0.33 & 0.34 - \lambda \end{pmatrix} = (0.37 - \lambda)(0.34 - \lambda) - 0.33^2 = \lambda^2 - 0.71\lambda + 0.0031 = 0 \] 使用二次公式 $ \lambda = \frac{0.71 \pm \sqrt{0.71^2 - 4 \cdot 0.0031}}{2} = \frac{0.71 \pm \sqrt{0.5041 - 0.0124}}{2} = \frac{0.71 \pm \sqrt{0.4917}}{2} $： \[ \lambda_1 \approx 0.683, \quad \lambda_2 \approx 0.027 \] 最大特征值为 $ \lambda_{\max} \approx 0.683 $，因此 2-范数为： \[ $A$_2 = \sqrt{\lambda_{\max}} \approx \sqrt{0.683} \approx 0.826 \] 等式 $ $A$_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^T A)} $ 是正确的。 ### 4. 计算 $ A $ 的 F-范数（Frobenius 范数） 矩阵的 F-范数是其元素的平方和的平方根。对于矩阵 $ A $： \[ $A$_F = \sqrt{0.6^2 + 0.5^2 + 0.1^2 + 0.3^2} = \sqrt{0.36 + 0.25 + 0.01 + 0.09} = \sqrt{0.71} \] 等式 $ $A$_F = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2 $ 是不正确的，因为 $ A $ 的 F-范数是 $ \sqrt{0.71} $，而不是 $ 0.71 $。 因此，有误的等式是： \[ \boxed{D} \]