题目
设柱面的准线为 ) x=(y)^2+(z)^2 x=2z .，母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。
设柱面的准线为
，母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。
题目解答
答案
由于,柱面的准线为
,
而为一平面.故它就是准线所在平面.即所求柱面的母线垂直于此平面.
此平面
的法向量为n=(1,0 ,-2),此即为所求柱面的准线的方向向量.
设:
为准线上的任意一点,则过该点的母线方程为:
其中P(X,Y,Z)为母线上点坐标.而
系指
上式即:
,
以下是要由上式和原准线方程,从中消去x,y,z 而得出关于(X,Y,Z)的方程,即所求柱面的方程.,(1)，(2),(3)
即
由(3),(1)变为:
,(5)
由(3) ,(4)变为:
将:(2),(5)代入(6)得:
整理得:
解析
步骤 1：确定准线所在的平面
准线由方程组$\left \{ \begin{matrix} x={y}^{2}\\ x=2z\end{matrix} \right.$给出，这意味着准线位于平面$x=2z$上。由于母线垂直于准线所在的平面，因此母线的方向向量与平面$x=2z$的法向量相同。平面$x=2z$的法向量为$\vec{n}=(1,0,-2)$。
步骤 2：写出母线的参数方程
设$M(x,y,z)$为准线上的任意一点，过该点的母线方程为：
$$\frac{X-x}{1}=\frac{Y-y}{0}=\frac{Z-z}{-2}$$
其中$(X,Y,Z)$为母线上点的坐标。由于$Y-y=0$，所以$Y=y$。
步骤 3：消去参数得到柱面方程
由母线方程，我们有：
$$Z-z=-2(X-x)$$
$$Y=y$$
由准线方程$x=2z$，我们有：
$$x=2z$$
$$x=y^2$$
将$x=2z$代入$Z-z=-2(X-x)$，得到：
$$Z-z=-2(X-2z)$$
整理得到：
$$Z+2X=5z$$
将$x=y^2$代入$x=2z$，得到：
$$y^2=2z$$
将$z=\frac{y^2}{2}$代入$Z+2X=5z$，得到：
$$Z+2X=5\frac{y^2}{2}$$
整理得到：
$$2Z+4X=5y^2$$
准线由方程组$\left \{ \begin{matrix} x={y}^{2}\\ x=2z\end{matrix} \right.$给出，这意味着准线位于平面$x=2z$上。由于母线垂直于准线所在的平面，因此母线的方向向量与平面$x=2z$的法向量相同。平面$x=2z$的法向量为$\vec{n}=(1,0,-2)$。
步骤 2：写出母线的参数方程
设$M(x,y,z)$为准线上的任意一点，过该点的母线方程为：
$$\frac{X-x}{1}=\frac{Y-y}{0}=\frac{Z-z}{-2}$$
其中$(X,Y,Z)$为母线上点的坐标。由于$Y-y=0$，所以$Y=y$。
步骤 3：消去参数得到柱面方程
由母线方程，我们有：
$$Z-z=-2(X-x)$$
$$Y=y$$
由准线方程$x=2z$，我们有：
$$x=2z$$
$$x=y^2$$
将$x=2z$代入$Z-z=-2(X-x)$，得到：
$$Z-z=-2(X-2z)$$
整理得到：
$$Z+2X=5z$$
将$x=y^2$代入$x=2z$，得到：
$$y^2=2z$$
将$z=\frac{y^2}{2}$代入$Z+2X=5z$，得到：
$$Z+2X=5\frac{y^2}{2}$$
整理得到：
$$2Z+4X=5y^2$$