若函数 f(x) 在 x_0 处可导，则 f(x) 在 x_0 处一定连续。()A. 对B. 错

本题考查函数可导与连续的关系，解题思路是根据函数可导和连续的定义，通过推导证明若函数在某点可导，则在该点一定连续。

1. 明确函数可导和连续的定义

• 函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导的定义为：$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f^\prime(x_0)$，其中$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。
• 函数$y = f(x)$在点$x_0$处连续的定义为：$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$。

2. 证明可导必连续

已知函数$f(x)$在$x_0$处可导，即$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^\prime(x_0)$存在。
我们对$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y$进行变形：
$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x\right)$
根据极限的乘法法则：若$\lim\limits_{x \to a} g(x)$和$\lim\limits_{x \to a} h(x)$都存在，则$\lim\limits_{x \to a} [g(x) \cdot h(x)] = \lim\limits_{x \to a} g(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} h(x)$。
在这里$g(\Delta x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$，$h(\Delta x)=\Delta x$，因为$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^\prime(x_0)$存在，$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0$，所以：
$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = f^\prime(x_0) \cdot 0 = 0$
这就说明$\lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$，满足函数在$x_0$处连续的定义。
所以，若函数$f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处一定连续，该命题是正确的。