题目
例15 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为eta_(1)=(4,3,1,2)^T,eta_(2)=(0,1,3,-2)^T.【解】设所求齐次方程组为Ax=0.由n-r(A)=2，且n=4，知r(A)=2.
例15 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为
$\eta_{1}=(4,3,1,2)^{T},\eta_{2}=(0,1,3,-2)^{T}.$
【解】设所求齐次方程组为Ax=0.
由n-r(A)=2，且n=4，知r(A)=2.
题目解答
答案
设所求方程组为 $Ax=0$，其中 $A$ 为 $2 \times 4$ 矩阵。由 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 为解，得：
\[
A\eta_1 = 0, \quad A\eta_2 = 0
\]
解得 $A$ 的行向量满足：
\[
\begin{cases}
4a_{11} + 3a_{12} + a_{13} + 2a_{14} = 0 \\
a_{12} + 3a_{13} - 2a_{14} = 0
\end{cases}
\]
解得通解为：
\[
(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}) = k(2, -3, 1, 0) + l(-2, 2, 0, 1)
\]
取两组线性无关解 $(2, -3, 1, 0)$ 和 $(-2, 2, 0, 1)$，得方程组：
\[
\boxed{
\begin{cases}
2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\
-2x_1 + 2x_2 + x_4 = 0
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：确定方程组的系数矩阵
设所求齐次方程组为 $Ax=0$，其中 $A$ 为 $2 \times 4$ 矩阵。由 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 为解，得： \[ A\eta_1 = 0, \quad A\eta_2 = 0 \]
步骤 2：建立方程组
解得 $A$ 的行向量满足： \[ \begin{cases} 4a_{11} + 3a_{12} + a_{13} + 2a_{14} = 0 \\ a_{12} + 3a_{13} - 2a_{14} = 0 \end{cases} \]
步骤 3：求解方程组
解得通解为： \[ (a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}) = k(2, -3, 1, 0) + l(-2, 2, 0, 1) \]
步骤 4：确定方程组
取两组线性无关解 $(2, -3, 1, 0)$ 和 $(-2, 2, 0, 1)$，得方程组： \[ \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\ -2x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \end{cases} \]
设所求齐次方程组为 $Ax=0$，其中 $A$ 为 $2 \times 4$ 矩阵。由 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 为解，得： \[ A\eta_1 = 0, \quad A\eta_2 = 0 \]
步骤 2：建立方程组
解得 $A$ 的行向量满足： \[ \begin{cases} 4a_{11} + 3a_{12} + a_{13} + 2a_{14} = 0 \\ a_{12} + 3a_{13} - 2a_{14} = 0 \end{cases} \]
步骤 3：求解方程组
解得通解为： \[ (a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}) = k(2, -3, 1, 0) + l(-2, 2, 0, 1) \]
步骤 4：确定方程组
取两组线性无关解 $(2, -3, 1, 0)$ 和 $(-2, 2, 0, 1)$，得方程组： \[ \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 \\ -2x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \end{cases} \]