题目
二、判断题（20分）25.【判断题】（2分）设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设npn=λ，则对任一固定的非负整数k，有lim_(ntoinfty)binom(n)(k)p_(n)^k(1-p_(n))^n-k=(lambda^k)/(k!)e^-lambda.（）bigcirc对bigcirc错
二、判断题（20分）
25.【判断题】（2分）
设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设npn=λ，则对任一固定的非负整数k，有
$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}.$
（）
$\bigcirc$对
$\bigcirc$错
题目解答
答案
设 $p_n = \frac{\lambda}{n}$，则原式变为：
$$
\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.
$$
展开二项式系数并整理得：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.
$$
注意到：
$$
\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1, \quad \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \to e^{-\lambda},
$$
故极限为：
$$
\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}.
$$
因此，原陈述正确。答案：$\boxed{\text{对}}$。
解析
步骤 1：定义 $p_n$
设 $p_n = \frac{\lambda}{n}$，其中 $\lambda > 0$ 是一个常数，$n$ 是任意正整数。根据题设，$np_n = \lambda$。
步骤 2：代入并展开
将 $p_n$ 代入原式，得到： $$ \lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}. $$ 展开二项式系数并整理得： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}. $$
步骤 3：计算极限
注意到： $$ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1, \quad \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \to e^{-\lambda}, $$ 因此，原式极限为： $$ \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}. $$
设 $p_n = \frac{\lambda}{n}$，其中 $\lambda > 0$ 是一个常数，$n$ 是任意正整数。根据题设，$np_n = \lambda$。
步骤 2：代入并展开
将 $p_n$ 代入原式，得到： $$ \lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}. $$ 展开二项式系数并整理得： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}. $$
步骤 3：计算极限
注意到： $$ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1, \quad \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \to e^{-\lambda}, $$ 因此，原式极限为： $$ \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}. $$