题目
向量组(alpha )_(1)=((1,1,2,2,1))^T (alpha )_(2)=(0,2,1,5,-1)T(alpha )_(1)=((1,1,2,2,1))^T (alpha )_(2)=(0,2,1,5,-1)T秩是( ). A 3 B 2 C 1 D 4
向量组
秩是( ).
A 3
B 2
C 1
D 4
题目解答
答案
将向量
作为矩阵A的列向量，即
。
对矩阵A进行初等行变换：
继续变换为
进一步得到
。
变换后的矩阵有三行非零行，所以矩阵A的秩为3，即向量组的秩为3。
故答案是: A
解析
步骤 1：构造矩阵
将向量${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$作为矩阵A的列向量，即$A=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2& 1\\ 1& 2& 0& 1\\ 2& 5& -1& 4\\ 1& -1& 3& -1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，目的是化简矩阵，使其更容易看出秩。
$10$ $2\quad 1$ $0\quad 2$ -2 0 $A\rightarrow $ 0 1 .-1 . -2 $0\quad 5$ .-5 2 0 -1 1 -2
继续变换为$10$ 2 1 0 1 -1 . -2 $0\quad 0$ 0 4 $00$ 0 12 $00$ 0 -4
进一步得到10 2 1 0 1 -1 . -2 0 0 0 1 $0\quad 0$ 0 0 $00$ 0 0。
步骤 3：确定秩
变换后的矩阵有三行非零行，所以矩阵A的秩为3，即向量组的秩为3。
将向量${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$作为矩阵A的列向量，即$A=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2& 1\\ 1& 2& 0& 1\\ 2& 5& -1& 4\\ 1& -1& 3& -1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，目的是化简矩阵，使其更容易看出秩。
$10$ $2\quad 1$ $0\quad 2$ -2 0 $A\rightarrow $ 0 1 .-1 . -2 $0\quad 5$ .-5 2 0 -1 1 -2
继续变换为$10$ 2 1 0 1 -1 . -2 $0\quad 0$ 0 4 $00$ 0 12 $00$ 0 -4
进一步得到10 2 1 0 1 -1 . -2 0 0 0 1 $0\quad 0$ 0 0 $00$ 0 0。
步骤 3：确定秩
变换后的矩阵有三行非零行，所以矩阵A的秩为3，即向量组的秩为3。